В прямоугольнике с вершинами A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4) , B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6) , C ( 8 ; 6 ) C(8;6) , D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку X ( x ; y ) X(x;y) . Найди…
В прямоугольнике с вершинами A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4), B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6), C ( 8 ; 6 ) C(8;6), D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку X ( x ; y ) X(x;y). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной неравенствами y ≥ x y≥x и y ≥ 1 y≥1.
Чтобы найти вероятность того, что координаты точки \( X(x; y) \) из прямоугольника с вершинами \( A(-4; -4) \), \( B(-4; 6) \), \( C(8; 6) \), \( D(8; -4) \) принадлежат области, заданной неравенствами \( y \geq x \) и \( y \geq 1 \), следуем следующим шагам:
Выявление области прямоугольника: Прямоугольник имеет ширину: \[ 8 - (-4) = 12 \] и высоту: \[ 6 - (-4) = 10 \] Площадь прямоугольника рассчитывается как: \[ P_{\text{прямоугольника}} = 12 \times 10 = 120 \]
Построение неравенств:
- Неравенство \( y \geq x \) — это область выше (включая) прямой \( y = x \).
- Неравенство \( y \geq 1 \) — это область выше (включая) горизонтальной прямой \( y = 1 \).
Нахождение пересечения: Чтобы найти область, удовлетворяющую обоим неравенствам, следует определить границы пересечения:
- Прямую \( y = x \) пересекаем с горизонтальной линией при \( y = 1 \): \[ 1 = x \Rightarrow x = 1 \] Получается точка пересечения \( (1; 1) \).
Определение вершин области: В данной области, заданной неравенствами, ключевыми точками будут:
- Точка \( (1; 1) \) — точка пересечения линий.
- Вертикальная граница: \( y = 6 \) при \( x = 6 \) (но нужно учитывать, что в рамках прямоугольника \( x \) не больше 8).
- Горизонтальная граница: \( (8; 6) \) (здесь визуализируем правую верхнюю часть).
Определение площадей: Теперь рассмотрим область, которая ограничена:
- Вертикальной линией \( x = 1 \).
- Горизонтальной линией \( y = 6 \).
- Прямой \( y = x \).
Область представляет собой треугольник с вершинами \( (1; 1) \), \( (6; 6) \) и \( (8; 6) \).
Вычисление площади треугольника: Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ P_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \] Здесь основание \( = 2 \) (от \( x=6 \) до \( x=8 \)), высота \( = 5 \) (от \( y=1 \) до \( y=6 \)): \[ P_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 2 \times 5 = 5 \]
Подсчет вероятности: Теперь вычислим вероятность: \[ P = \frac{P_{\text{треугольника}}}{P_{\text{прямоугольника}}} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24} \]
Таким образом, вероятность того, что координаты случайной точки \( X(x; y) \) из прямоугольника принадлежат области, заданной неравенствами \( y \geq x \) и \( y \geq 1 \), равна \( \frac{1}{24} \).
