Х(х²+2х+1)=2(х+1)

Решим уравнение \( x(x^2 + 2x + 1) = 2(x + 1) \).

1. Сначала упростим уравнение. Левую часть можно представить через произведение: \[ x(x^2 + 2x + 1) = x(x + 1)^2. \] То есть, у нас получается: \[ x(x + 1)^2 = 2(x + 1). \]

2. Теперь мы можем делить обе стороны на \( (x + 1) \), но необходимо учитывать, что если \( x + 1 = 0 \), то \( x = -1 \) — это особое решение. Рассмотрим случай \( x \neq -1 \): \[ x(x + 1) = 2. \]

3. Раскроем скобки: \[ x^2 + x - 2 = 0. \]

4. Теперь необходимо решить квадратное уравнение \( x^2 + x - 2 = 0 \) с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) равен: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9. \]

5. Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два решения, которые можно найти по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2}. \] Таким образом, получаем два корня: \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \] \[ x_2 = \frac{-4}{2} = -2. \]

6. Не забываем, что у нас есть особое решение, когда \( x = -1 \). Таким образом, все решения нашего уравнения: \[ x = 1, \quad x = -2, \quad x = -1. \]

Проверив оба случая, мы можем заключить, что окончательные решения: \( x = 1, -2, -1 \).