(x+5)(x-9)<0

Чтобы решить неравенство \((x+5)(x-9)<0\), мы сначала найдем нули произведения, то есть точки, в которых произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю.

1. Найдем корни:
   • \(x+5=0\) даёт \(x=-5\)
   • \(x-9=0\) даёт \(x=9\)

Таким образом, у нас есть точки \(x=-5\) и \(x=9\).

2. Теперь мы можем разбить числовую прямую на интервалы с этими точками:

   • \((-\infty, -5)\)
   • \((-5, 9)\)
   • \((9, +\infty)\)

3. Теперь проверим знак произведения \((x+5)(x-9)\) в каждом из этих интервалов:

• Для интервала \((-\infty, -5)\), возьмем, например, \(x=-6\): \(((-6)+5)((-6)-9) = (-1)(-15) = 15\) (положительное)

• Для интервала \((-5, 9)\), возьмем, например, \(x=0\): \(((0)+5)((0)-9) = (5)(-9) = -45\) (отрицательное)

• Для интервала \((9, +\infty)\), возьмем, например, \(x=10\): \(((10)+5)((10)-9) = (15)(1) = 15\) (положительное)

4. Теперь подведем итоги:

   • В интервале \((-\infty, -5)\) знак положительный.
   • В интервале \((-5, 9)\) знак отрицательный.
   • В интервале \((9, +\infty)\) знак положительный.

5. Нам нужно решить неравенство \((x+5)(x-9)<0\), то есть найти те значения \(x\), в которых произведение отрицательное. Это происходит только в интервале \((-5, 9)\).

Таким образом, решение неравенства \((x+5)(x-9)<0\) — это: \[ x \in (-5, 9) \]