Основания равнобедренной трапеции равны 18 и 12 угол между ними равен 135, найдите площадь трапеции

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, нужно воспользоваться формулой:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где \( a \) и \( b \) — основания трапеции, \( h \) — высота.

В данном случае основания равнобедренной трапеции равны \( a = 18 \) и \( b = 12 \). Угол между основаниями равен \( 135^\circ \).

Сначала найдем высоту трапеции. Поскольку трапеция равнобедренная и угол между основаниями равен \( 135^\circ \), мы можем рассмотреть одну из половин трапеции. Обозначим высоту трапеции как \( h \), а расстояние от верхнего основания (12) до проекции нижнего основания (18) на линии высоты как \( x \).

Так как угол \( 135^\circ \) является внешним для одной из половин трапеции, угол при основании будет равен:

\[ 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \]

Таким образом, мы можем использовать тригонометрию. В прямоугольном треугольнике, который образуется, у нас получается:

\[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{x} \]

Так как \( \tan(45^\circ) = 1 \), то \( h = x \).

Теперь найдём \( x \). Для этого воспользуемся следующим равенством:

\[ a - b = 18 - 12 = 6 \]

Это расстояние делится на две равные части, так как трапеция равнобедренная, и на каждую часть будет приходиться по \( \frac{6}{2} = 3 \).

Теперь учтем, что проведенная высота делит угол \( 135^\circ \) на два угла по \( 67.5^\circ \). Используя косинус для нахождения высоты:

\[ x = 3 \cdot \cos(45^\circ) \]

Поскольку \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[ x = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, высота \( h \):

\[ h = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]

Теперь подставим значения в формулу площади:

\[ S = \frac{(18 + 12) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{30 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{90\sqrt{2}}{4} = \frac{45\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции составляет \( \frac{45\sqrt{2}}{2} \) квадратных единиц.