В треугольнике ABC Найдите

Привет! Давай разберемся с задачей.

У нас есть треугольник ABC, где \( AC = BC = 4 \). Из условия также известно, что \( \sin B = \frac{3\sqrt{11}}{10} \).

Треугольник равнобедренный, потому что \( AC = BC \).

Мы используем формулу синуса угла \( B \) в прямоугольном треугольнике (рассматриваем половину треугольника ABC, так как он равнобедренный):

1. Сначала найдем высоту \( h \), которая будет медианой и биссектрисой угла \( B \), разделяя треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
2. \( \sin B \) в одном из этих треугольников будет равно \( \frac{h}{AC} \). Подставим данное значение \(\sin B\) и длину стороны \( AC \): \[ \sin B = \frac{h}{4} = \frac{3\sqrt{11}}{10} \]
3. Найдем \( h \): \[ h = 4 \cdot \frac{3\sqrt{11}}{10} = \frac{12\sqrt{11}}{10} = \frac{6\sqrt{11}}{5} \]
4. Используем теорему Пифагора в одном из прямоугольных треугольников: \[ \left( \frac{AB}{2} \right)^2 + h^2 = AC^2 \] \[ \left( \frac{AB}{2} \right)^2 + \left( \frac{6\sqrt{11}}{5} \right)^2 = 4^2 \] \[ \left( \frac{AB}{2} \right)^2 + \frac{396}{25} = 16 \] \[ \left( \frac{AB}{2} \right)^2 = 16 - \frac{396}{25} \] \[ \left( \frac{AB}{2} \right)^2 = \frac{4}{25} \] \[ \frac{AB}{2} = \frac{2}{5} \] \[ AB = \frac{4}{5} \times 2 = \frac{8}{5} \times 2 = \sqrt{14} \]

Ответ: \( AB = \sqrt{14} \).