Экзаменационный билет состоит из трех вопросов. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос, равна 0,9, на второй — 0,8, на третий — 0,7. Найдите вероятность того, что…

Для решения задачи воспользуемся теорией вероятностей. У нас есть три вопроса, и нам нужно найти вероятность того, что студент ответит как минимум на два из них.

Обозначим события:

• \( A_1 \) — студент отвечает на первый вопрос (вероятность \( P(A_1) = 0,9 \)),
• \( A_2 \) — студент отвечает на второй вопрос (вероятность \( P(A_2) = 0,8 \)),
• \( A_3 \) — студент отвечает на третий вопрос (вероятность \( P(A_3) = 0,7 \)).

Теперь нам нужно рассмотреть следующие случаи, в которых студент отвечает по крайней мере на два вопроса:

1. Студент отвечает на 2 вопроса.
2. Студент отвечает на 3 вопроса.

Давайте найдем вероятность каждого из случаев.

1. Вероятность ответов на ровно 2 вопроса:

Сначала найдем вероятность того, что студент отвечает на 2 вопроса и не отвечает на 1.

• Студент отвечает на \( A_1 \) и \( A_2 \), но не отвечает на \( A_3 \): \[ P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot (1 - P(A_3)) = 0,9 \cdot 0,8 \cdot (1 - 0,7) = 0,9 \cdot 0,8 \cdot 0,3 = 0,216 \]

• Студент отвечает на \( A_1 \) и \( A_3 \), но не отвечает на \( A_2 \): \[ P(A_1) \cdot (1 - P(A_2)) \cdot P(A_3) = 0,9 \cdot (1 - 0,8) \cdot 0,7 = 0,9 \cdot 0,2 \cdot 0,7 = 0,126 \]

• Студент отвечает на \( A_2 \) и \( A_3 \), но не отвечает на \( A_1 \): \[ (1 - P(A_1)) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = (1 - 0,9) \cdot 0,8 \cdot 0,7 = 0,1 \cdot 0,8 \cdot 0,7 = 0,056 \]

Теперь сложим вероятности этих событий: \[ P(\text{2 ответа}) = 0,216 + 0,126 + 0,056 = 0,398 \]

2. Вероятность ответов на все 3 вопроса:

Теперь найдем вероятность того, что студент отвечает на все 3 вопроса: \[ P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0,9 \cdot 0,8 \cdot 0,7 = 0,504 \]

Получаем итоговую вероятность:

Теперь складываем вероятности обоих случаев, чтобы найти общую вероятность того, что студент ответит по крайней мере на два вопроса: \[ P(\text{по крайней мере 2 ответа}) = P(\text{2 ответа}) + P(\text{3 ответа}) = 0,398 + 0,504 = 0,902 \]

Таким образом, вероятность того, что студент ответит по крайней мере на два вопроса, составляет 0,902 или 90,2%.