Экзаменационный билет состоит из трех вопросов. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос, равна 0,9, на второй — 0,8, на третий — 0,7. Найдите вероятность того, что…

Чтобы решить задачу о вероятности того, что студент ответит как минимум на два вопроса, мы можем использовать дерево случайного события. Давайте обозначим события:

• \( A_1 \) — студент отвечает на первый вопрос (вероятность \( P(A_1) = 0.9 \))
• \( A_2 \) — студент отвечает на второй вопрос (вероятность \( P(A_2) = 0.8 \))
• \( A_3 \) — студент отвечает на третий вопрос (вероятность \( P(A_3) = 0.7 \))

А также вероятности того, что студент не отвечает на эти вопросы:

• \( \overline{A_1} \) — студент не отвечает на первый вопрос (вероятность \( P(\overline{A_1}) = 0.1 \))
• \( \overline{A_2} \) — студент не отвечает на второй вопрос (вероятность \( P(\overline{A_2}) = 0.2 \))
• \( \overline{A_3} \) — студент не отвечает на третий вопрос (вероятность \( P(\overline{A_3}) = 0.3 \))

Теперь мы будем анализировать все возможные варианты, когда студент отвечает на два или три вопроса. Рассмотрим:

1. Случай, когда студент отвечает на все три вопроса: \[ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0.9 \cdot 0.8 \cdot 0.7 = 0.504 \]

2. Случай, когда студент отвечает на два вопроса и не отвечает на третий:

   • Отвечает на 1 и 2, не отвечает на 3: \[ P(A_1 \cap A_2 \cap \overline{A_3}) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(\overline{A_3}) = 0.9 \cdot 0.8 \cdot 0.3 = 0.216 \]
   • Отвечает на 1 и 3, не отвечает на 2: \[ P(A_1 \cap \overline{A_2} \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot P(A_3) = 0.9 \cdot 0.2 \cdot 0.7 = 0.126 \]
   • Отвечает на 2 и 3, не отвечает на 1: \[ P(\overline{A_1} \cap A_2 \cap A_3) = P(\overline{A_1}) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0.1 \cdot 0.8 \cdot 0.7 = 0.056 \]

Теперь сложим все вероятности, в которых студент отвечает на два или три вопроса:

\[ P(\text{ответ на 2 или 3 вопроса}) = P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap \overline{A_3}) + P(A_1 \cap \overline{A_2} \cap A_3) + P(\overline{A_1} \cap A_2 \cap A_3) \]

\[ = 0.504 + 0.216 + 0.126 + 0.056 = 0.902 \]

Таким образом, вероятность того, что студент выберет случайный билет и ответит по крайней мере на два вопроса, составляет 0.902.