3. В каждой клетке шахматной доски стоит нуль. Петя и Вася играют в игру. Ходят по очереди, начинает Петя. Петя каждым своим ходом выбирает какой-то квадрат из четырех клеток и к каждому из чисел, стоящих в этом квадрате, прибавляет нуль или единицу, по своему выбору (выбор для каждой из четырех клеток совершается отдельно, то есть может случиться, что в некоторых клетках прибавляется нуль, а в некоторых - единица). Вася своим ходом выбирает какую-то клетку и прибавляет к стоящему в ней числу нуль или единицу, по своему выбору. Петя хочет, чтобы после 2024-го хода (т. е., после того как он и Вася сделают по 1012 ходов) на доске было как можно больше нечетных чисел. Какое наибольшее количество нечетных чисел он может получить независимо от действий Васи?
Чтобы понять, как Петя может добиться максимального количества нечётных чисел на шахматной доске после 2024-го хода, давайте рассмотрим каждый этап игры.
Стартовая ситуация: В начале игры все клетки шахматной доски содержат нули, так что на данной момент все числа чётные.
Ходы Пети: Петя за один ход может взять любой квадрат из 4 клеток (например, 2x2) и добавить 0 или 1 к каждому из чисел в этих клетках. Это означает, что он может изменить состояние этих 4 клеток от чётных до нечётных.
- Если Петя добавит единицу к клетке, то она станет нечётной.
- Если он добавит ноль, то клетка останется чётной.
Ходы Васи: Вася, в свою очередь, может выбрать любую клетку и также добавить к ней 0 или 1. Это его действие может либо изменить чётное число на нечётное, либо оставить чётное число чётным.
Теперь глядя на стратегию:
- В каждом ходе Петя может изменить состояние 4 клеток. Таким образом, за 1012 ходов он сможет изменить состояние 4048 клеток.
- Из 4048 клеток, которые он может изменить, он может сделать их все нечётными, если Vasya не успевает их аннулировать.
Однако, что касается действий Васи, он может повлиять на итоговые числа, делая некоторые чётными, если они были изменены Петей ранее. Но так как у Пети есть большое количество ходов для изменения ячеек, он может попытаться минимизировать влияние Васи.
После выполнения всех ходов:
- Если Петя делает 4048 клеток нечётными, даже если Вася справится с некоторыми (добавляя к ним единицы), Петя все равно может поддерживать преимущество, добавляя 1 ко всем оставшимся четным.
Таким образом, максимальное количество нечётных чисел, которые Петя может обеспечить на доске после 2024-го хода, составляет 4048. Это предполагает, что он будет максимально искренен в своих действиях, и выборы Васи не смогут полностью нейтрализовать его усилия.
Ответ: Максимальное количество нечётных чисел, которое Петя может получить, равно 4048.
