решите иррациональные уравнения 1) √3х-1-√х-2=3 2)√х²-5х+1=√х-4
Давайте решим оба иррациональных уравнения шаг за шагом.
- Уравнение: \( \sqrt{3x-1} - \sqrt{x-2} = 3 \)
Первым шагом изолируем один из квадратных корней:
\[ \sqrt{3x-1} = \sqrt{x-2} + 3 \]
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[ 3x - 1 = (\sqrt{x-2} + 3)^2 \]
Раскроем скобки:
\[ 3x - 1 = (x - 2) + 6\sqrt{x-2} + 9 \]
Соберем все в одну сторону:
\[ 3x - 1 = x + 6\sqrt{x-2} + 7 \]
Упрощаем:
\[ 3x - x - 1 - 7 = 6\sqrt{x-2} \]
\[ 2x - 8 = 6\sqrt{x-2} \]
Теперь изолируем корень:
\[ 6\sqrt{x-2} = 2x - 8 \]
И вновь возведем обе части в квадрат:
\[ 36(x-2) = (2x - 8)^2 \]
Раскроем скобки:
\[ 36x - 72 = 4x^2 - 32x + 64 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 4x^2 - 68x + 136 = 0 \]
Теперь можно упростить уравнение, разделив на 4:
\[ x^2 - 17x + 34 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 289 - 136 = 153 \]
Теперь найдем корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm \sqrt{153}}{2} \]
Теперь проверим, какие из найденных корней удовлетворяют исходному уравнению, так как мы возводили в квадрат.
- Уравнение: \( \sqrt{x^2 - 5x + 1} = \sqrt{x - 4} \)
Снова изолируем корень и возводим в квадрат:
\[ x^2 - 5x + 1 = x - 4 \]
Переносим всё в одну сторону:
\[ x^2 - 6x + 5 = 0 \]
Решаем это квадратное уравнение:
\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \]
Находим корни:
\[ x = \frac{6 \pm 4}{2} \implies x_1 = 5, \quad x_2 = 1 \]
Теперь проверяем оба корня в исходном уравнении:
Для \( x = 5 \): \[ \sqrt{5^2 - 5 \cdot 5 + 1} = \sqrt{5 - 4} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{1} = \sqrt{1} \quad \text{(верно)} \]
Для \( x = 1 \): \[ \sqrt{1^2 - 5 \cdot 1 + 1} = \sqrt{1 - 4} \quad \Rightarrow \quad \text{корень из отрицательного числа (не верно)} \]
Таким образом, единственным решением второго уравнения является \( x = 5 \).
Итоги:
- \( x = \frac{17 \pm \sqrt{153}}{2} \) (надо проверить на истинность).
- \( x = 5 \) (подходит).
Если вам нужно более подробно объяснить какой-то из этапов, дайте знать!
