Задан прямоугольник ABCD. Прямая a параллельна AD и не лежит в плоскости прямоугольника. а) Докажите, что a || BC (7 баллов). б) Докажите, что прямые a и BD скрещивающиеся (7 баллов). в) Определите косинус угла между прямыми a и BD, если AB = 18 см, BC = 24 см. Ответ обоснуйте (15 баллов). Задание 2 (30 баллов). Задан прямоугольный параллелепипед MNKLM1N1K1L1. Точка E лежит на ребре KK1, точка G – на ребре NK, точка F – на нижней грани. а) Постройте сечение параллелепипеда по трём заданным точкам E, F, G. Объясните ход построения каждого из отрезков (22 балла). б) Укажите название (вид) полученного многоугольника и заштрихуйте его внутреннюю часть (8 баллов). Задание 3 (41 балл). Задан равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Из точки S, лежащей вне плоскости ABC, опущен перпендикуляр в точку C. а) Изобразите линейный угол двугранного угла SABC. Поясните, почему именно этот угол является линейным углом двугранного угла (16 баллов). б) Найдите SC, если AC = BC = 15 cм, AB = 18 см, величина двугранного угла SABC составляет 30° (25 баллов).

Question 1

Задача Задача №2323563

А

Аноним

24 ноября 2024 10:55 · публичный вопрос

А

Аноним 24 ноября 2024 10:55

Задан прямоугольник ABCD. Прямая a параллельна AD и не лежит в плоскости прямоугольника. а) Докажите, что a || BC (7 баллов). б) Докажите, что прямые a и BD скрещивающиеся (7 баллов). в) Определите косинус угла между прямыми a и BD, если AB = 18 см, BC = 24 см. Ответ обоснуйте (15 баллов). Задание 2 (30 баллов). Задан прямоугольный параллелепипед MNKLM1N1K1L1. Точка E лежит на ребре KK1, точка G – на ребре NK, точка F – на нижней грани. а) Постройте сечение параллелепипеда по трём заданным точкам E, F, G. Объясните ход построения каждого из отрезков (22 балла). б) Укажите название (вид) полученного многоугольника и заштрихуйте его внутреннюю часть (8 баллов). Задание 3 (41 балл). Задан равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Из точки S, лежащей вне плоскости ABC, опущен перпендикуляр в точку C. а) Изобразите линейный угол двугранного угла SABC. Поясните, почему именно этот угол является линейным углом двугранного угла (16 баллов). б) Найдите SC, если AC = BC = 15 cм, AB = 18 см, величина двугранного угла SABC составляет 30° (25 баллов).

Answer

Задание 1

а) Чтобы доказать, что прямая \( a \) параллельна \( BC \), рассмотрим следующие факты:

Прямая \( a \) параллельна прямой \( AD \). По определению параллельных прямых, если две прямые параллельны и перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны друг другу.
\( AD \) и \( BC \) являются противоположными сторонами прямоугольника и, следовательно, параллельны.

Таким образом, если \( a \) || \( AD \) и \( AD \) || \( BC \), то \( a \) || \( BC \).

б) Теперь нужно доказать, что прямые \( a \) и \( BD \) скрещиваются:

Прямая \( BD \) является диагональю прямоугольника и пересекает его плоскость.
Прямые \( a \) и \( BD \) расположены в пространстве: первая – не в плоскости прямоугольника (параллельная линии), а вторая – пересекает эту плоскость.

Так как \( a \) не пересекает прямоугольник и не лежит в его плоскости, но пересекает пространственную основную силовую структуру (прямую \( BD \)), тогда прямые \( a \) и \( BD \) являются скрещивающимися.

в) Нам нужно найти косинус угла между прямыми \( a \) и \( BD \). Для этого определим координаты точек:

Пусть точки \( A(0, 0, 0) \), \( B(18, 0, 0) \), \( C(18, 24, 0) \), \( D(0, 24, 0) \).
Точка \( E \) на прямой \( a \) может быть выбрана как \( E(0, 0, h) \), где \( h \) - высота, определяемая положением линии в пространстве.

Теперь найдем векторы, соответствующие этим прямым:

Вектор \( \vec{a} = (0, 0, 1) \) (вектор, направленный вдоль линии \( a \), не изменяя ось XY).
Вектор \( \vec{BD} = D - B = (0 - 18, 24 - 0, 0) = (-18, 24, 0) \).

Теперь находим норму каждого вектора:

\[ |\vec{a}| = 1, \quad |\vec{BD}| = \sqrt{(-18)^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30. \]

Теперь использует скалярное произведение для нахождения косинуса угла \( \theta \) между \( a \) и \( BD \):

\[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{BD}}{|\vec{a}| |\vec{BD}|}. \]

Вычисляем скалярное произведение:

\[ \vec{a} \cdot \vec{BD} = (0, 0, 1) \cdot (-18, 24, 0) = 0. \]

Итак, \( \cos \theta = \frac{0}{1 \cdot 30} = 0 \).

Это значит, что угол между этими прямыми равен 90° (прямые перпендикулярны).

Задание 2

а) Для построения сечения параллелепипеда по точкам \( E \), \( F \) и \( G \):

Определение точек:
- \( E \) на ребре \( KK_1 \): наиболее верхний или нижний, например \( E(0, 0, h) \).
- \( G \) на ребре \( NK \): выбираем \( G(18, 0, 0) \).
- \( F \) на нижней грани: \( F(0, 24, 0) \).
Построение отрезков (линий):
- Строим отрезок \( EF \) (соединяет \( E \) и \( F \)).
- Строим отрезок \( FG \) (соединяет \( F \) и \( G \)).
- Строим отрезок \( GE \) (соединяет \( G \) и \( E \)).

Таким образом, мы получаем многоугольник в пространстве, ограниченный этими тремя точками.

б) Получённый многоугольник будет треугольником, так как состоит из трех соединяющихся отрезков. Заштрихованная область будет внутренней частью этого треугольника.

Задание 3

а) Линейный угол двугранного угла \( SABC \) изображается между линиями \( SC \) и плоскостью \( ABC \). Линейный угол – это угол между прямой и плоскостью.

Этот угол является линейным, так как одна его сторона – это перпендикуляр от точки \( S \) к плоскости \( ABC \) (линия \( SC \)), а другая сторона – это проекция на плоскость (грани \( AB \) и \( AC \)).

б) Чтобы найти расстояние \( SC \), используем теорему косинусов в треугольнике \( SCA \):

По теореме Пифагора находим \( CA \):

\[ CA = \sqrt{(18)^2 + (15^2)} = \sqrt{324 + 225} = \sqrt{549} \approx 23.4 \text{ см.} \]

Теперь, зная, что двугранный угол составляет 30°:

\[ SC = \frac{CA}{\cos(30°)} = \frac{CA}{\sqrt{3}/2} = CA \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}. \]

Используя найденный \( CA \):

\[ SC \approx 23.4 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 27.0 \text{ см.} \]

Таким образом, \( SC \) составляет примерно 27 см.

Это решения задач с обоснованиями и объяснениями.

Question 2

Задан прямоугольник ABCD. Прямая a параллельна AD и не лежит в плоскости прямоугольника. а) Докажите, что a || BC (7 баллов). б) Докажите, что прямые a и BD скрещивающиеся (7 баллов). в) Определите косинус угла между прямыми a и BD, если AB = 18 см, BC = 24 см. Ответ обоснуйте (15 баллов). Задание 2 (30 баллов). Задан прямоугольный параллелепипед MNKLM1N1K1L1. Точка E лежит на ребре KK1, точка G – на ребре NK, точка F – на нижней грани. а) Постройте сечение параллелепипеда по трём заданным точкам E, F, G. Объясните ход построения каждого из отрезков (22 балла). б) Укажите название (вид) полученного многоугольника и заштрихуйте его внутреннюю часть (8 баллов). Задание 3 (41 балл). Задан равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Из точки S, лежащей вне плоскости ABC, опущен перпендикуляр в точку C. а) Изобразите линейный угол двугранного угла SABC. Поясните, почему именно этот угол является линейным углом двугранного угла (16 баллов). б) Найдите SC, если AC = BC = 15 cм, AB = 18 см, величина двугранного угла SABC составляет 30° (25 баллов).

Answer

### Задание 1 **а)** Чтобы доказать, что прямая \( a \) параллельна \( BC \), рассмотрим следующие факты: - Прямая \( a \) параллельна прямой \( AD \). По определению параллельных прямых, если две прямые параллельны и перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны друг другу. - \( AD \) и \( BC \) являются противоположными сторонами прямоугольника и, следовательно, параллельны. Таким образом, если \( a \) || \( AD \) и \( AD \) || \( BC \), то \( a \) || \( BC \). **б)** Теперь нужно доказать, что прямые \( a \) и \( BD \) скрещиваются: - Прямая \( BD \) является диагональю прямоугольника и пересекает его плоскость. - Прямые \( a \) и \( BD \) расположены в пространстве: первая – не в плоскости прямоугольника (параллельная линии), а вторая – пересекает эту плоскость. Так как \( a \) не пересекает прямоугольник и не лежит в его плоскости, но пересекает пространственную основную силовую структуру (прямую \( BD \)), тогда прямые \( a \) и \( BD \) являются скрещивающимися. **в)** Нам нужно найти косинус угла между прямыми \( a \) и \( BD \). Для этого определим координаты точек: - Пусть точки \( A(0, 0, 0) \), \( B(18, 0, 0) \), \( C(18, 24, 0) \), \( D(0, 24, 0) \). - Точка \( E \) на прямой \( a \) может быть выбрана как \( E(0, 0, h) \), где \( h \) - высота, определяемая положением линии в пространстве. Теперь найдем векторы, соответствующие этим прямым: - Вектор \( \vec{a} = (0, 0, 1) \) (вектор, направленный вдоль линии \( a \), не изменяя ось XY). - Вектор \( \vec{BD} = D - B = (0 - 18, 24 - 0, 0) = (-18, 24, 0) \). Теперь находим норму каждого вектора: \[ |\vec{a}| = 1, \quad |\vec{BD}| = \sqrt{(-18)^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30. \] Теперь использует скалярное произведение для нахождения косинуса угла \( \theta \) между \( a \) и \( BD \): \[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{BD}}{|\vec{a}| |\vec{BD}|}. \] Вычисляем скалярное произведение: \[ \vec{a} \cdot \vec{BD} = (0, 0, 1) \cdot (-18, 24, 0) = 0. \] Итак, \( \cos \theta = \frac{0}{1 \cdot 30} = 0 \). Это значит, что угол между этими прямыми равен 90° (прямые перпендикулярны). ### Задание 2 **а)** Для построения сечения параллелепипеда по точкам \( E \), \( F \) и \( G \): 1. **Определение точек**: - \( E \) на ребре \( KK_1 \): наиболее верхний или нижний, например \( E(0, 0, h) \). - \( G \) на ребре \( NK \): выбираем \( G(18, 0, 0) \). - \( F \) на нижней грани: \( F(0, 24, 0) \). 2. **Построение отрезков (линий)**: - Строим отрезок \( EF \) (соединяет \( E \) и \( F \)). - Строим отрезок \( FG \) (соединяет \( F \) и \( G \)). - Строим отрезок \( GE \) (соединяет \( G \) и \( E \)). Таким образом, мы получаем многоугольник в пространстве, ограниченный этими тремя точками. **б)** Получённый многоугольник будет треугольником, так как состоит из трех соединяющихся отрезков. Заштрихованная область будет внутренней частью этого треугольника. ### Задание 3 **а)** Линейный угол двугранного угла \( SABC \) изображается между линиями \( SC \) и плоскостью \( ABC \). Линейный угол – это угол между прямой и плоскостью. Этот угол является линейным, так как одна его сторона – это перпендикуляр от точки \( S \) к плоскости \( ABC \) (линия \( SC \)), а другая сторона – это проекция на плоскость (грани \( AB \) и \( AC \)). **б)** Чтобы найти расстояние \( SC \), используем теорему косинусов в треугольнике \( SCA \): По теореме Пифагора находим \( CA \): \[ CA = \sqrt{(18)^2 + (15^2)} = \sqrt{324 + 225} = \sqrt{549} \approx 23.4 \text{ см.} \] Теперь, зная, что двугранный угол составляет 30°: \[ SC = \frac{CA}{\cos(30°)} = \frac{CA}{\sqrt{3}/2} = CA \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}. \] Используя найденный \( CA \): \[ SC \approx 23.4 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 27.0 \text{ см.} \] Таким образом, \( SC \) составляет примерно 27 см. Это решения задач с обоснованиями и объяснениями.