реши систему уравнения

Привет! Давай решим систему уравнений:

1. \(x^2 + y^2 = 10\)
2. \(xy = 3\)

Начнем с первого уравнения. Оно представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом корень из 10. Второе уравнение - гипербола.

Можно выразить, например, \(y\) через \(x\) из второго уравнения: \(y = \frac{3}{x}\).

Теперь подставим это во второе уравнение: \(x^2 + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 10\).

Упростим: \(x^2 + \frac{9}{x^2} = 10\).

Умножим все на \(x^2\) для удобства: \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\).

Теперь решаем полученное квадратное уравнение относительно \(z = x^2\): \(z^2 - 10z + 9 = 0\).

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта: \(D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64\).

Корни: \(z_1 = (10 + 8) / 2 = 9\), \(z_2 = (10 - 8) / 2 = 1\).

Теперь найдем \(x\) для каждого корня:

1. \(x^2 = 9\) → \(x = \pm3\).
2. \(x^2 = 1\) → \(x = \pm1\).

Для каждого \(x\) найдем соответствующие \(y\):

• Если \(x = 3\), то \(y = \frac{3}{3} = 1\).
• Если \(x = -3\), то \(y = \frac{3}{-3} = -1\).
• Если \(x = 1\), то \(y = \frac{3}{1} = 3\).
• Если \(x = -1\), то \(y = \frac{3}{-1} = -3\).

Таким образом, решения системы:

1. \((x, y) = (3, 1)\)
2. \((x, y) = (-3, -1)\)
3. \((x, y) = (1, 3)\)
4. \((x, y) = (-1, -3)\)

Надеюсь, это помогло! Если будут вопросы, дай знать.