й
Привет! Давай разберемся с задачей.
В тексте сказано, что у нас есть векторы а и b, для которых даны условия:
- Длина вектора а равна 1 (|а| = 1).
- Длина вектора b равна 2 (|b| = 2).
- Угол между векторами а и b равен π/3.
Нужно найти векторное произведение \((\overline{a} + 2\overline{b}) \times (\overline{a} - 3\overline{b})\).
Шаги решения:
Найдем векторное произведение по компонентам:
Векторное произведение двух векторов \((\overline{a} + 2\overline{b})\) и \((\overline{a} - 3\overline{b})\) можно разложить следующим образом:
\[ (\overline{a} + 2\overline{b}) \times (\overline{a} - 3\overline{b}) = \overline{a} \times \overline{a} - 3\overline{a} \times \overline{b} + 2\overline{b} \times \overline{a} - 6\overline{b} \times \overline{b} \]
Заметь, что векторное произведение вектора самого на себя равно нулю:
\[ \overline{a} \times \overline{a} = 0, \quad \overline{b} \times \overline{b} = 0 \]
Упростим выражение:
\[ = -3\overline{a} \times \overline{b} + 2\overline{b} \times \overline{a} \]
Используем свойство \(\overline{b} \times \overline{a} = -(\overline{a} \times \overline{b})\), чтобы получить:
\[ = -3\overline{a} \times \overline{b} - 2\overline{a} \times \overline{b} = -5\overline{a} \times \overline{b} \]
Теперь найдем \(\overline{a} \times \overline{b}\):
Формула для модуля векторного произведения: \[ |\overline{a} \times \overline{b}| = |\overline{a}||\overline{b}|\sin(\theta) \]
Подставим значения: \[ |\overline{a} \times \overline{b}| = 1 \cdot 2 \cdot \sin(\pi/3) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \]
Итак:
\[ -5 \times |\overline{a} \times \overline{b}| = -5\sqrt{3} \]
Итог: \(-5\sqrt{3}\). Это ответ на вашу задачу. Надеюсь, всё было понятно!
