Й

Привет! Давай разберёмся с этой задачей.

Нам даны два вектора \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). Нужно найти:

\[ ((\vec{a} \cdot \vec{b}) \times (\vec{a} \times 3 \vec{b}))^2 \]

Для начала давай найдём скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} \).

Вектор \( \vec{a} = (1, 5, 2) \) и вектор \( \vec{b} = (0, 4, 1) \).

Скалярное произведение это:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 0 + 5 \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 0 + 20 + 2 = 22 \]

Теперь найдём векторное произведение \( \vec{a} \times \vec{b} \).

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 5 & 2 \\ 0 & 4 & 1 \end{array} \right| \]

Рассчитаем это:

\[ \vec{i}(5 \times 1 - 2 \times 4) - \vec{j}(1 \times 1 - 2 \times 0) + \vec{k}(1 \times 4 - 5 \times 0) \]

\[ = \vec{i}(5 - 8) - \vec{j}(1) + \vec{k}(4) \]

\[ = (-3, -1, 4) \]

Теперь найдём векторное произведение \( \vec{a} \times 3\vec{b} \).

Вектор \( 3\vec{b} = (0, 12, 3) \).

\[ \vec{a} \times 3\vec{b} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 5 & 2 \\ 0 & 12 & 3 \end{array} \right| \]

Рассчитаем его:

\[ \vec{i}(5 \times 3 - 2 \times 12) - \vec{j}(1 \times 3 - 2 \times 0) + \vec{k}(1 \times 12 - 5 \times 0) \]

\[ = \vec{i}(15 - 24) - \vec{j}(3) + \vec{k}(12) \]

\[ = (-9, -3, 12) \]

Скалярное произведение \( \vec{a} \cdot (\vec{a} \times 3\vec{b}) \) уже не требуется, так как это равно нулю, как мы видим из формулы векторного произведения.

Таким образом, итоговый ответ будет \( (0)^2 = 0 \).

Если что-то ещё не понятно, спрашивай!