Для построения графика функции ( y = x^2 - 4x - 5 ), начинаем с нахождения ключевых характеристик этой параболы.
Определение вида параболы: Данная функция является квадратичной, и у неё коэффициент при ( x^2 ) положительный, значит парабола открыта вверх.
Поиск координат вершины параболы:
Вершина квадратичной функции ( y = ax^2 + bx + c ) имеет координаты:
[
x_v = -\frac{b}{2a}
]
Для нашей функции ( a = 1, b = -4 ):
[
x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2
]
Подставим ( x = 2 ) в уравнение функции для нахождения ( y_v ):
[
y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9
]
Вершина параболы находится в точке ( (2, -9) ).
Нахождение нулей функции: Для этого решим уравнение ( x^2 - 4x - 5 = 0 ) с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36
]
Корни уравнения:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 6}{2}
]
Таким образом, получаем:
[
x_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1
]
Нули функции: ( x = -1 ) и ( x = 5 ).
Промежутки, в которых ( y > 0 ) и ( y < 0 ):
Парабола пересекает ось ( x ) в точках ( x = -1 ) и ( x = 5 ).
Поскольку она открыта вверх, то ( y < 0 ) на интервале ( (-1, 5) ) и ( y > 0 ) на интервалах ( (-\infty, -1) ) и ( (5, +\infty) ).
Возрастание функции:
Парабола возрастает на интервале ( (2, +\infty) ), так как после достижения вершины ( y ) начинает увеличиваться.
Теперь, построив график функции, мы можем найти значения:
а) Значение ( y ) при ( x=0,5 ):
[
y(0,5) = (0,5)^2 - 4 \cdot 0,5 - 5 = 0,25 - 2 - 5 = -6,75
]
б) Значения ( x ), при которых ( y = 3 ):
Решаем уравнение:
[
x^2 - 4x - 5 = 3 \Rightarrow x^2 - 4x - 8 = 0
]
Дискриминант:
[
D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 16 + 32 = 48
]
Корни:
[
x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}
]
в) Нули функции: Как уже было найдено, это ( x = -1 ) и ( x = 5 ).
г) Промежутки, в которых функция возрастает:
Как отмечено ранее, функция возрастает на интервале ( (2, +\infty) ).
Эти шаги помогут вам понять поведение функции ( y = x^2 - 4x - 5 ) и получить необходимые значения. Если есть дополнительные вопросы, всегда рад помочь!
