Построите график функции y=x²-4x-5. Найдите с помощью графика : a) значение y при x=0,5 б) Значения х, при которых y=3 в) Нули функции; промежутки в которых, в которых y>0 и в…
Построите график функции y=x²-4x-5. Найдите с помощью графика : a) значение y при x=0,5 б) Значения х, при которых y=3 в) Нули функции; промежутки в которых, в которых y>0 и в которых y<0 г) промежуток, в котором функция возрастает
Для построения графика функции \( y = x^2 - 4x - 5 \), начинаем с нахождения ключевых характеристик этой параболы.
Определение вида параболы: Данная функция является квадратичной, и у неё коэффициент при \( x^2 \) положительный, значит парабола открыта вверх.
Поиск координат вершины параболы: Вершина квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \) имеет координаты: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Для нашей функции \( a = 1, b = -4 \): \[ x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \] Подставим \( x = 2 \) в уравнение функции для нахождения \( y_v \): \[ y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \] Вершина параболы находится в точке \( (2, -9) \).
Нахождение нулей функции: Для этого решим уравнение \( x^2 - 4x - 5 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \] Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 6}{2} \] Таким образом, получаем: \[ x_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \] Нули функции: \( x = -1 \) и \( x = 5 \).
Промежутки, в которых \( y > 0 \) и \( y < 0 \): Парабола пересекает ось \( x \) в точках \( x = -1 \) и \( x = 5 \). Поскольку она открыта вверх, то \( y < 0 \) на интервале \( (-1, 5) \) и \( y > 0 \) на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (5, +\infty) \).
Возрастание функции: Парабола возрастает на интервале \( (2, +\infty) \), так как после достижения вершины \( y \) начинает увеличиваться.
Теперь, построив график функции, мы можем найти значения:
а) Значение \( y \) при \( x=0,5 \): \[ y(0,5) = (0,5)^2 - 4 \cdot 0,5 - 5 = 0,25 - 2 - 5 = -6,75 \]
б) Значения \( x \), при которых \( y = 3 \): Решаем уравнение: \[ x^2 - 4x - 5 = 3 \Rightarrow x^2 - 4x - 8 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 16 + 32 = 48 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3} \]
в) Нули функции: Как уже было найдено, это \( x = -1 \) и \( x = 5 \).
г) Промежутки, в которых функция возрастает: Как отмечено ранее, функция возрастает на интервале \( (2, +\infty) \).
Эти шаги помогут вам понять поведение функции \( y = x^2 - 4x - 5 \) и получить необходимые значения. Если есть дополнительные вопросы, всегда рад помочь!
