A(1;-1;2) B(5;-6;2) C(1;3;-1)

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

Мы должны найти длину высоты, опущенной из вершины \(B\) на сторону \(AC\).

1. Определим вектор \(AC\): \[ A(1, -1, 2) \quad и \quad C(1, 3, -1) \] Вектор \(AC = C - A = (1-1, 3+1, -1-2) = (0, 4, -3)\).

2. Определим вектор \(AB\): \[ B(5, -6, 2) \] Вектор \(AB = B - A = (5-1, -6+1, 2-2) = (4, -5, 0)\).

3. Найдем единичный вектор направления \(AC\): Длина вектора \(AC = \sqrt{0^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5\). Единичный вектор направления \(AC = \left(0, \frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right)\).

4. Найдем проекцию \(AB\) на направление \(AC\): Скалярное произведение \(AB \cdot AC = 4 \times 0 + (-5) \times 4 + 0 \times (-3) = -20\). Длина проекции \(AB\) на \(AC = \left(\frac{-20}{5}\right) = -4\).

5. Найдем длину высоты \(h\): \[ h = \sqrt{\left| \text{длина } AB \right|^2 - \left( \text{длина проекции } \right)^2} \] Длина \(AB = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\). Тогда \(h = \sqrt{41 - (-4)^2} = \sqrt{41 - 16} = \sqrt{25} = 5\).

Итак, длина высоты, опущенной из \(B\) на \(AC\), равна 5. Если есть вопросы, спрашивай!