В ящике 25 фиолетовых и 14 оранжевых шариков: Определи вероятность того, что при вытаскивании 2 подряд шариков фиолетовый окажется вторым. (Ответ округли до сотых. Промежуточные…
В ящике 25 фиолетовых и 14 оранжевых шариков: Определи вероятность того, что при вытаскивании 2 подряд шариков фиолетовый окажется вторым. (Ответ округли до сотых. Промежуточные вычисления выполняй в обыкновенных дробях.)
Для решения задачи определим вероятность того, что при вытаскивании двух шариков второй шарик окажется фиолетовым.
В ящике 25 фиолетовых и 14 оранжевых шариков, всего шариков 25 + 14 = 39.
Шаг 1: Определим вероятности.
Чтобы второй шарик оказался фиолетовым, мы можем рассмотреть два случая:
- Первый шарик также фиолетовый.
- Первый шарик оранжевый.
Случай 1: Первый шарик фиолетовый.
Вероятность того, что первый шарик фиолетовый: \[ P(1) = \frac{25}{39} \]
Если первый шарик фиолетовый, то во втором вытаскивании у нас останется 24 фиолетовых и 14 оранжевых шариков, всего 38 шариков. Вероятность того, что второй шарик фиолетовый: \[ P(2|1) = \frac{24}{38} = \frac{12}{19} \]
Случай 2: Первый шарик оранжевый.
Вероятность того, что первый шарик оранжевый: \[ P(1') = \frac{14}{39} \]
Если первый шарик оранжевый, то у нас останется 25 фиолетовых и 13 оранжевых шариков, всего 38 шариков. Вероятность того, что второй шарик фиолетовый: \[ P(2|1') = \frac{25}{38} \]
Шаг 2: Рассчитаем общую вероятность.
Общая вероятность того, что второй шарик фиолетовый, будет равна: \[ P(2) = P(1) \cdot P(2|1) + P(1') \cdot P(2|1') \]
Подставим значения: \[ P(2) = \left(\frac{25}{39} \cdot \frac{12}{19}\right) + \left(\frac{14}{39} \cdot \frac{25}{38}\right) \]
Теперь считаем каждую часть:
Первая часть: \[ \frac{25 \cdot 12}{39 \cdot 19} = \frac{300}{741} \]
Вторая часть: \[ \frac{14 \cdot 25}{39 \cdot 38} = \frac{350}{1482} \]
Найдем общий знаменатель для сложения: Сначала приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель 741 и 1482, наименьшее общее кратное (НОК) равно 1482 (так как 1482 = 2 \cdot 741).
Теперь преобразуем первую дробь: \[ \frac{300}{741} = \frac{300 \cdot 2}{741 \cdot 2} = \frac{600}{1482} \]
Теперь сложим дроби: \[ P(2) = \frac{600}{1482} + \frac{350}{1482} = \frac{950}{1482} \]
Шаг 3: Упростим дробь.
Упростим \(\frac{950}{1482}\): Находим общий делитель – 2. \[ \frac{950 \div 2}{1482 \div 2} = \frac{475}{741} \]
Теперь найдем приблизительное значение: \[ \frac{475}{741} \approx 0.64 \]
Ответ: Вероятность того, что при вытаскивании 2 шариков второй окажется фиолетовым, равна approximately 0.64 или 64%.
