Напишите уравнение окружности с центром в точке (-2;1), зная, что она а) касается оси x; б)проходит через точку (1;5)
Чтобы написать уравнение окружности, нам нужно знать координаты центра окружности и радиус. Уравнение окружности с центром в точке \((h, k)\) и радиусом \(r\) имеет вид:
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]
Где \( (h, k) \) — координаты центра окружности.
- а) Окружность касается оси \(x\).
Центр окружности находится в точке \((-2, 1)\). Окружность касается оси \(x\), что означает, что расстояние от центра до оси \(x\) равно радиусу. В данном случае это расстояние равно \(k = 1\) (координата \(y\) центра). Таким образом, радиус \(r = 1\).
Подставляем значения в уравнение окружности:
\[ (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 1^2 \]
Упрощая, получаем:
\[ (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 1 \]
- б) Окружность проходит через точку (1, 5).
Сначала найдем радиус окружности, зная, что она проходит через точку \((1, 5)\). Радиус можно найти с использованием формулы для расстояния между двумя точками:
\[ r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
В нашем случае \((x_1, y_1) = (-2, 1)\) и \((x_2, y_2) = (1, 5)\):
\[ r = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} \] \[ r = \sqrt{(1 + 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Теперь мы можем записать уравнение окружности, зная центр и радиус:
\[ (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 5^2 \]
Упрощая, получаем:
\[ (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 \]
Таким образом, у нас есть два уравнения окружности:
а) \((x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 1\) — касается оси \(x\).
б) \((x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 25\) — проходит через точку \((1, 5)\).
