Автомат получает на вход трёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам: 1. Складываются первая и вторая, а также вторая и третья цифры исходного…

Чтобы решить задачу, давайте разберем, как можно получить число 715, следуя заданным правилам.

1. Пусть \( x \) – трёхзначное число, которое можно представить в виде \( abc \), где \( a \), \( b \) и \( c \) – его цифры: \( a \) – первая цифра, \( b \) – вторая, \( c \) – третья.

2. Сначала вычислим требуемые суммы:

   • \( S_1 = a + b \) (сумма первой и второй цифры)
   • \( S_2 = b + c \) (сумма второй и третьей цифры)

3. Далее, нам нужно получить число \( 715 \). Это число состоит из двух частей: \( 7 \) и \( 15 \). Поэтому нам следует организовать так, чтобы \( S_1 \) и \( S_2 \) стали равными 7 и 15 соответственно.

4. Теперь запишем уравнения:

   • \( a + b = 7 \)
   • \( b + c = 15 \)

5. Из первого уравнения выразим \( b \):

   • \( b = 7 - a \)

6. Подставим это значение во второе уравнение:

   • \( (7 - a) + c = 15 \)

7. Решим его:

   • \( c = 15 - (7 - a) = 8 + a \)

Теперь у нас есть зависимости:

• \( b = 7 - a \)
• \( c = 8 + a \)

Поскольку \( a \), \( b \), и \( c \) – цифры, они должны быть в диапазоне от 0 до 9.

8. Рассмотрим ограничения:
   1. \( a \geq 0 \)
   2. \( 7 - a \geq 0 \) ⇒ \( a \leq 7 \)
   3. \( 8 + a \leq 9 \) ⇒ \( a \leq 1 \)

Таким образом, возможные значения для \( a \) могут быть 0 или 1.

Рассмотрим оба случая:

• Если \( a = 0 \):

  • \( b = 7 - 0 = 7 \)
  • \( c = 8 + 0 = 8 \)
  • Трёхзначное число: \( 078 \) (но это не подойдет, поскольку это не трёхзначное число).

• Если \( a = 1 \):

  • \( b = 7 - 1 = 6 \)
  • \( c = 8 + 1 = 9 \)
  • Трёхзначное число: \( 169 \)

Теперь проверим:

• \( 1 + 6 = 7 \)
• \( 6 + 9 = 15 \)

Полученные суммы соответствуют требованиям, и мы можем записать цифры в порядке неубывания:

• 7 и 15: запишем их вместе, получим \( 715 \).

Таким образом, наименьшее трёхзначное число, которое удовлетворяет всем условиям, — это 169.