Начерти окружность с центром O O и r = 3 r=3 см. Затем построй фигуру, в которую эта окружность переходит при гомотетии с центром в точке E E , если точка E E принадлежит данной…
Начерти окружность с центром O O и r = 3 r=3 см. Затем построй фигуру, в которую эта окружность переходит при гомотетии с центром в точке E E, если точка E E принадлежит данной окружности, а k = − 1 3 k=− 3 1 . Сколько общих касательных будет у данной окружности и получившейся фигуры?
Для решения задачи нужно рассмотреть, что происходит при гомотетии с центром в точке \( E \) и коэффициентом \( k = -\frac{1}{3} \).
Местоположение точки \( E \): Поскольку точка \( E \) принадлежит окружности с центром в точке \( O \) и радиусом \( r = 3 \) см, её расстояние от центра \( O \) равно 3 см.
Гомотетия: При гомотетии с коэффициентом \( k = -\frac{1}{3} \) каждая точка, расположенная на окружности, будет перемещена в точку, которая будет находиться на линии, соединяющей её с центром \( O \), и находиться на расстоянии в 1/3 от расстояния между \( E \) и \( O \) (в обратную сторону, т.к. коэффициент отрицательный).
Радиус и центр новой окружности: Таким образом, новая фигура, полученная в результате гомотетии, будет окружностью с центром \( O' \), который находится на расстоянии \( |k| \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 \) см от точки \( E \) в сторону от \( O \). Получаем радиус новой окружности, равный \( |k| \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 \) см.
Общие касательные окружностей: Теперь у нас есть две окружности:
- Окружность \( C_1 \) с центром в \( O \) и радиусом 3 см.
- Окружность \( C_2 \) с центром в \( O' \) (расположенным на расстоянии 2 см от \( O \) в сторону от \( E \)) и радиусом 1 см.
Рассмотрим расстояние между центрами \( O \) и \( O' \):
- Расстояние между \( O \) и \( O' \) равно 2 см (так как \( O' \) находится на расстоянии 1 см от \( E \), а \( E \) от \( O \) на расстоянии 3 см).
Определение количества общих касательных: Для двух окружностей количество общих касательных можно определить по следующим правилам:
- Если расстояние между центрами окружностей меньше, чем разность радиусов, у них 0 общих касательных.
- Если расстояние между центрами окружностей меньше, чем сумма радиусов, но больше, чем разность радиусов, у них 2 общие касательные.
- Если они касаются, то у них 1 общая касательная.
- Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, у них 4 общие касательные.
Для нас:
- Измерения: расст. между центрами = 2 см; радиус 1 и 3 см.
- Разность радиусов: \( 3 \text{см} - 1 \text{см} = 2 \text{см} < 2 \text{см} \).
Таким образом, окружности не пересекаются и не пересекаются, сейчас они находятся на расстоянии ровно равном разности радиусов, следовательно, у них будет 1 общая касательная.
