Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0;3π]: 1) tg x=3 2) tg x=-2

Для решения уравнений, содержащих тангенс, сначала напомним, что тангенс имеет период \( \pi \). То есть, для любого \( n \in \mathbb{Z} \) выполняется следующее соотношение:

\[ \tan x = \tan (x + n\pi) \]

Теперь давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1. Уравнение \( \tan x = 3 \).

Чтобы найти решения, начнем с поиска основного угла. Мы можем взять арктангенс:

\[ x_0 = \arctan(3) \]

Теперь определим все корни, добавляя к основному углу целые кратные периода тангенса \( \pi \):

\[ x_n = \arctan(3) + n\pi \]

Теперь нам нужно найти значения \( x_n \), которые лежат в заданном интервале \( [0; 3\pi] \).

1. Для \( n = 0 \):

\[ x_0 = \arctan(3) \approx 1.249 \]

2. Для \( n = 1 \):

\[ x_1 = \arctan(3) + \pi \approx 1.249 + 3.142 \approx 4.391 \]

3. Для \( n = 2 \):

\[ x_2 = \arctan(3) + 2\pi \approx 1.249 + 6.284 \approx 7.533 \]

Значение \( x_2 \) превышает \( 3\pi \), поэтому оно не подходит. Таким образом, корни уравнения \( \tan x = 3 \) на отрезке \( [0; 3\pi] \):

\[ x \approx 1.249, \quad x \approx 4.391 \]

Теперь перейдём ко второму уравнению:

2. Уравнение \( \tan x = -2 \).

Аналогичным образом, определяем основной угол:

\[ x_0 = \arctan(-2) \]

Однако, чтобы получить правильное значение, мы знаем, что арктангенс отрицательного числа приведёт нас в угол, который лежит между \( -\frac{\pi}{2} \) и \( 0 \). Мы можем записать его как:

\[ x_0 = \pi + \arctan(-2) = \pi - \arctan(2) \]

Теперь найдем корни:

\[ x_n = \pi - \arctan(2) + n\pi \]

Следует найти решения в интервале \( [0; 3\pi] \).

1. Для \( n = 0 \):

\[ x_0 = \pi - \arctan(2) \approx 3.141 - 1.107 \approx 2.034 \]

2. Для \( n = 1 \):

\[ x_1 = \pi - \arctan(2) + \pi \approx 2.034 + 3.142 \approx 5.176 \]

3. Для \( n = 2 \):

\[ x_2 = \pi - \arctan(2) + 2\pi \approx 2.034 + 6.284 \approx 8.318 \]

Значение \( x_2 \) также превышает \( 3\pi \). Таким образом, корни уравнения \( \tan x = -2 \) на отрезке \( [0; 3\pi] \):

\[ x \approx 2.034, \quad x \approx 5.176 \]

Итак, резюмируя, корни уравнений:

1. \( \tan x = 3 \):

• \( x \approx 1.249 \)
• \( x \approx 4.391 \)

2. \( \tan x = -2 \):

• \( x \approx 2.034 \)
• \( x \approx 5.176 \)