В корзине лежат яблоки и груши, всего 30 фруктов. Среди любых 12 из них имеется хотя бы одно яблоко, а среди любых 20 фруктов - хотя бы одна груша. Сколько яблок лежало в корзине?

Пусть \( x \) — количество яблок, а \( y \) — количество груш в корзине. Из условия нам известно, что: 1. \( x + y = 30 \) (всего фруктов 30). 2. Среди любых 12 фруктов хотя бы одно яблоко. Это значит, что если бы все 12 фруктов были грушами, то у нас было бы не менее 12 груш, следовательно \( y < 12 \). 3. Среди любых 20 фруктов хотя бы одна груша. Это значит, что если бы все 20 фруктов были яблоками, то у нас было бы не менее 20 яблок, следовательно \( x < 20 \). Теперь мы можем выразить \( y \): \[ y < 12 \implies y \leq 11 \] И выразим \( x \): \[ x < 20 \implies x \leq 19 \] Теперь мы знаем, что \( x + y = 30 \) и подставим границы: Если \( y \leq 11 \), то \( x \) будет: \[ x = 30 - y \geq 30 - 11 = 19 \] Но \( x \) не может быть больше 19, это создаёт противоречие. Поэтому попробуем взять \( y = 11 \). Если \( y = 11 \): \[ x = 30 - 11 = 19 \] Теперь проверяем условия: 1. В корзине 19 яблок и 11 груш, всего 30 фруктов. Условие выполнимо. 2. Среди любых 12 фруктов будет хотя бы одно яблоко, так как максимум 11 фруктов могут быть грушами. 3. Среди любых 20 фруктов будет хотя бы одна груша, так как максимум 19 фруктов могут быть яблоками. Оба условия выполняются. Таким образом, в корзине лежало: \[ \boxed{19} \text{ яблок} \]