Давайте разберемся с подчеркиванием частей речи в ваших предложениях. Я отмечу каждое предложение в соответствии с обозначениями:
Бабушка убрала (ПГС) суп с кашей и села к окошку пришивать пуговицу к Антоновой куртке. (СГС)
- ПГС - прямое дополнение ("суп с кашей").
- СГС - сочетание со сложным глагольным значением ("пришивать пуговицу").
Надел он (ПГС) куртку с новой пуговицей и начал проситься гулять. (СИС)
- ПГС - прямое дополнение ("куртку").
- СИС - сложное глагольное значение ("начал проситься гулять").
В то время радуга стала неяркая (СИС), а потом и вовсе потерялась. (ПГС)
- СИС - составное именное сказуемое ("радуга стала неяркая").
- ПГС - прямое дополнение ("потерялась").
Утром Катюша проснулась первая. (СИС)
- СИС - составное именное сказуемое ("проснулась первая").
Дедушка тоже поехал искать зайчика. (СГС)
- СГС - сочетание со сложным глагольным значением ("искать зайчика").
Они уходили всё дальше и дальше купаться на Синий омут. (СГС)
- СГС - сложное выражение действия ("уходили купаться").
Она услышала (ПГС) девичий смех, визг и ребячий свист, но ветряной выдох погас (ПГС), и в лугах стало жарче (СГС) от безлюдья и тишины.
- ПГС - прямое дополнение ("девичий смех").
- СГС - сложное сказуемое ("стало жарче").
Спать Павлуня уже не стал (СГС), а начал глядеть (СГС), как мать растопляет печь. (ПГС)
- СГС - сочетание со сложным глагольным значением ("не стал", "начал глядеть").
- ПГС - прямое дополнение ("растопляет печь").
Его охватило (СИС) холодным весенним ветром, голова опять закружилась. (ПГС)
- СИС - составное именное сказуемое ("охватило холодным ветром").
- ПГС - прямое дополнение ("закружилась").
Она прибрала (ПГС) оставшиеся на лугу чьи-то босоножки и брошенные вверх зубьями грабли.
- ПГС - прямое дополнение ("оставшиеся босоножки и грабли").
Полуденный зной начал уже спадать (СИС), в дальнем березняке то и дело смолкала кукушка. (ПГС)
- СИС - составное именное сказуемое ("начал спадать").
- ПГС - прямое дополнение ("смолкала кукушка").
Она взглянула (ПГС) опять на дорогу, дорога стала темней и короче. (СГС)
- ПГС - прямое дополнение ("на дорогу").
- СГС - сказуемое ("стала темней и короче").
Дорога была безлюдна, недвижима. (СИС)
- СИС - составное именное сказуемое ("была безлюдна").
Эти обозначения помогут вам лучше понять, какие части речи используются в каждом из предложений. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше информации, не стесняйтесь задавать!