Реши задачу системой уравнений с двумя переменными: из двух сёл, расстояние между которыми равно 50 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 часа. найдите скорость каждого велосипедиста, если один из них потратил на путь из одного села в другое на 1 час 40 минут меньше, чем другой.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом, используя систему уравнений.

Обозначим скорость первого велосипедиста как \( v_1 \) км/ч, а скорость второго - как \( v_2 \) км/ч.

Из условия мы знаем, что два велосипедиста встретились через 2 часа. Это значит, что за это время они проехали вместе 50 км, и можем записать уравнение:

1. \( 2v_1 + 2v_2 = 50 \)

Это уравнение можно упростить, разделив обе стороны на 2:

\[ v_1 + v_2 = 25 \quad (1) \]

Также из задачи сказано, что один велосипедист потратил на путь на 1 час 40 минут меньше, чем другой. 1 час 40 минут это 1 + (40/60) = \( \frac{5}{3} \) часа.

Если второй велосипедист потратил на путь \( t \) часов, то первый потратил \( t - \frac{5}{3} \) часа. Мы знаем, что расстояние между ними - 50 км, соответственно для каждого велосипедиста можем записать уравнения.

Для первого велосипедиста:

\[ v_1 \cdot \left(t - \frac{5}{3}\right) = 50 \] \[ v_1 t - \frac{5}{3} v_1 = 50 \quad (2) \]

Для второго велосипедиста:

\[ v_2 \cdot t = 50 \quad (3) \]

Теперь мы можем выразить \( t \) из уравнения (3):

\[ t = \frac{50}{v_2} \]

Подставим это значение \( t \) в уравнение (2):

\[ v_1 \cdot \left(\frac{50}{v_2} - \frac{5}{3}\right) = 50 \]

Упростим это:

\[ v_1 \cdot \frac{50}{v_2} - \frac{5}{3} v_1 = 50 \]

Теперь решим это уравнение, выразив \( v_1 \):

\[ \frac{50v_1}{v_2} - \frac{5}{3} v_1 = 50 \]

Если мы умножим все на \( 3v_2 \) (чтобы избавиться от дробей), получаем:

\[ 1500v_1 - 5v_1v_2 = 150v_2 \]

Теперь подставим \( v_1 = 25 - v_2 \) из уравнения (1):

\[ 1500(25 - v_2) - 5(25 - v_2)v_2 = 150v_2 \]

Упрощаем:

\[ 37500 - 1500v_2 - 125v_2 + 5v_2^2 = 150v_2 \]

Соберем все в одну сторону:

\[ 5v_2^2 - 1875v_2 + 37500 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы его решить, найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1875)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 37500 \]

\[ D = 3515625 - 750000 = 2765625 \]

Теперь, извлечем корень из дискриминанта и подставим в формулу корней квадратного уравнения:

\[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1875 \pm 1650}{10} \]

Теперь найдем корни:

1. \( v_2 = \frac{3525}{10} = 352.5 \) (отклоняем)
2. \( v_2 = \frac{225}{10} = 22.5 \)

Теперь найдем \( v_1 \):

\[ v_1 = 25 - v_2 = 25 - 22.5 = 2.5 \]

Таким образом, скорости велосипедистов составляют:

• скорость первого велосипедиста \( v_1 = 2.5 \) км/ч
• скорость второго велосипедиста \( v_2 = 22.5 \) км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста 2.5 км/ч, скорость второго 22.5 км/ч.