На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 7 и ВС = 18. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Для решения этой задачи используем теорему о касательной к окружности. Длина касательной, проведенной из точки внешней к окружности, равна квадратному корню из разности квадратов расстояния от этой точки до центра окружности и радиуса окружности.

1. Определим радиус окружности. Поскольку окружность с центром в точке \( A \) проходит через точку \( C \), то радиус окружности \( R \) равен \( AC = 7 \).

2. Найдем расстояние от точки \( B \) до центра окружности \( A \). Мы знаем, что \( AC = 7 \) и \( BC = 18 \). Чтобы найти длину отрезка \( AB \), воспользуемся свойствами отрезков на одной прямой:

   \[ AB = AC + BC = 7 + 18 = 25 \]

3. Теперь, согласно теореме о касательной:

   \[ BT^2 = AB^2 - AC^2 \]

   где \( BT \) — длина касательной, \( AB \) — расстояние от точки \( B \) до центра \( A \), а \( AC \) — радиус окружности.

   Подставим известные значения:

   \[ BT^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576 \]

4. Теперь находим длину касательной:

   \[ BT = \sqrt{576} = 24 \]

Ответ: длина отрезка касательной, проведенной из точки \( B \) к окружности, составляет 24.