Секцию плавания посещает одинаковое количество девочек и мальчиков средний вес девочек 48,2кг а дисперсия веса для девочек равна 2,4кг средний вес мальчиков 54,6 кг а дисперсия 4,6 найдите дисперсию веса для всех учеников
Чтобы найти дисперсию веса для всех учеников, нужно воспользоваться формулой общей дисперсии, которая учитывает веса и размеры выборок. В данном случае у нас есть девочки и мальчики с одинаковым количеством (обозначим их как \( n \)).
Дано:
- Средний вес девочек (\( \mu_g \)) = 48,2 кг
- Дисперсия веса для девочек (\( D_g \)) = 2,4 кг²
- Средний вес мальчиков (\( \mu_m \)) = 54,6 кг
- Дисперсия веса для мальчиков (\( D_m \)) = 4,6 кг²
Первым шагом является нахождение общего среднего веса всех учеников. Поскольку количество девочек и мальчиков одинаково, общее среднее \( \mu \) можно найти по формуле:
\[ \mu = \frac{\mu_g + \mu_m}{2} = \frac{48,2 + 54,6}{2} = \frac{102,8}{2} = 51,4 \text{ кг} \]
Теперь для вычисления общей дисперсии (\( D \)) используем следующую формулу:
\[ D = \frac{n}{n + n} \left( D_g + D_m + n \left( \mu_g - \mu \right)^2 + n \left( \mu_m - \mu \right)^2 \right) \]
Поскольку количество девочек и мальчиков одинаково (по \( n \)), тогда:
\[ D = \frac{1}{2} \left( D_g + D_m + 1 \left( \mu_g - \mu \right)^2 + 1 \left( \mu_m - \mu \right)^2 \right) \]
Теперь подставим известные значения. Сначала найдём отдельные разности:
\[ \mu_g - \mu = 48,2 - 51,4 = -3,2 \] \[ \mu_m - \mu = 54,6 - 51,4 = 3,2 \]
Теперь возведем эти разности в квадрат:
\[ (\mu_g - \mu)^2 = (-3,2)^2 = 10,24 \] \[ (\mu_m - \mu)^2 = (3,2)^2 = 10,24 \]
Теперь подставим все значения в формулу дисперсии \( D \):
\[ D = \frac{1}{2} \left( 2,4 + 4,6 + 10,24 + 10,24 \right) \]
Считаем сумму:
\[ D = \frac{1}{2} (2,4 + 4,6 + 10,24 + 10,24) = \frac{1}{2} (27,28) = 13,64 \]
Таким образом, дисперсия веса для всех учеников составляет \( 13,64 \) кг².
