(sin(x) + cos(x))×(√3sin(y) + cos(y)) =2√2 найти сумму наименьших возможных положительных значений x и y

Для решения уравнения \((\sin(x) + \cos(x)) \times (\sqrt{3}\sin(y) + \cos(y)) = 2\sqrt{2}\) начнем с анализа каждого компонента.

1. Исследуем первый множитель \((\sin(x) + \cos(x))\):

   Используем неравенство: \[ \sin(x) + \cos(x) \leq \sqrt{2(\sin^2(x) + \cos^2(x))} = \sqrt{2} \] Достигать максимума \(\sqrt{2}\) этот множитель может, когда \(\sin(x) = \cos(x)\), то есть при \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\), где \(k\) — целое число.

2. Теперь рассмотрим второй множитель \((\sqrt{3}\sin(y) + \cos(y))\):

   Здесь также применяем неравенство: \[ \sqrt{3}\sin(y) + \cos(y) \leq \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2 \] Максимум достигается, когда \(\tan(y) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), что соответствует \(y = \frac{\pi}{6} + k\pi\).

3. Объединяя результаты: Для того чтобы \((\sin(x) + \cos(x)) \times (\sqrt{3}\sin(y) + \cos(y)) = 2\sqrt{2}\), оба множителя должны равняться своим максимумам:

   • \(\sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2}\)
   • \(\sqrt{3}\sin(y) + \cos(y) = 2\)

   Если \(\sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2}\), то \(x = \frac{\pi}{4}\).

   Чтобы \(\sqrt{3}\sin(y) + \cos(y) = 2\), после подстановки и решения получаем, что это возможно достигая максимума, только когда \(y\) равно \( \frac{\pi}{6}\).

4. Сумма наименьших положительных значений x и y: \[ x + y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12} \] Таким образом: \[ x + y = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} \]

Итак, сумма наименьших возможных положительных значений \(x\) и \(y\) равна \(\frac{5\pi}{12}\).