(5х+ 8)^4 - 11(5x+8)^2 - 80 = 0.
Чтобы решить уравнение \((5x + 8)^4 - 11(5x + 8)^2 - 80 = 0\), давайте сделаем замену переменной. Обозначим \(y = (5x + 8)^2\). Тогда наше уравнение примет вид:
\[ y^2 - 11y - 80 = 0 \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 1\), \(b = -11\), и \(c = -80\).
Посчитаем дискриминант:
\[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 121 + 320 = 441 \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ y_1 = \frac{11 + \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 21}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]
\[ y_2 = \frac{11 - \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 21}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
Теперь у нас есть два значения для \(y\): \(y_1 = 16\) и \(y_2 = -5\).
Так как \(y = (5x + 8)^2\) не может быть отрицательным, оставляем только корень \(y_1 = 16\):
\[ (5x + 8)^2 = 16 \]
Далее извлекаем корень:
\[ 5x + 8 = 4 \quad или \quad 5x + 8 = -4 \]
Решим каждое из этих уравнений.
- Для первого уравнения:
\[ 5x + 8 = 4 \implies 5x = 4 - 8 \implies 5x = -4 \implies x = -\frac{4}{5} \]
- Для второго уравнения:
\[ 5x + 8 = -4 \implies 5x = -4 - 8 \implies 5x = -12 \implies x = -\frac{12}{5} \]
Таким образом, у нас есть два решения:
\[ x = -\frac{4}{5} \quad и \quad x = -\frac{12}{5} \]
Это и есть корни нашего уравнения. Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!
