(2x-5) (7x+3)(x+8) <0

Для решения неравенства (2x - 5)(7x + 3)(x + 8) < 0, нам нужно выяснить, при каких значениях x произведение трех множителей будет отрицательным.

1. Найдем корни каждого множителя:

   • \(2x - 5 = 0\) ⇒ \(x = \frac{5}{2} = 2.5\)
   • \(7x + 3 = 0\) ⇒ \(x = -\frac{3}{7} \approx -0.43\)
   • \(x + 8 = 0\) ⇒ \(x = -8\)

2. Определим критические точки: Критические точки – это значения, при которых один из множителей равен нулю. У нас есть три критические точки: \(x = -8\), \(x \approx -0.43\), \(x = 2.5\).

3. Разделим ось чисел на интервалы: У нас есть следующие интервалы, которые нужно проверить:

   • \( (-\infty, -8) \)
   • \( (-8, -\frac{3}{7}) \)
   • \( (-\frac{3}{7}, 2.5) \)
   • \( (2.5, +\infty) \)

4. Определим знак произведения на каждом интервале: Возьмем произвольное число из каждого интервала и проверим, какой знак будет у произведения.

   • Для интервала \( (-\infty, -8) \), выбираем, например, \(x = -9\): \((2(-9) - 5)(7(-9) + 3)(-9 + 8) < 0\) ⇒ \(( -\text{положительное})( -\text{положительное})( -\text{отрицательное}) > 0\)
   • Для интервала \( (-8, -\frac{3}{7}) \), выбираем \(x = -7\): \((2(-7) - 5)(7(-7) + 3)(-7 + 8) < 0\) ⇒ \(( -\text{положительное})( -\text{положительное})( +\text{положительное}) < 0\)
   • Для интервала \( (-\frac{3}{7}, 2.5) \), выбираем \(x = 0\): \((2(0) - 5)(7(0) + 3)(0 + 8) < 0\) ⇒ \(( -\text{положительное})( +\text{положительное})( +\text{положительное}) < 0\)
   • Для интервала \( (2.5, +\infty) \), выбираем \(x = 3\): \((2(3) - 5)(7(3) + 3)(3 + 8) < 0\) ⇒ \(( +\text{положительное})( +\text{положительное})( +\text{положительное}) > 0\)

5. Соберем результаты:

   • Знак отрицательный на интервалах: \( (-8, -\frac{3}{7}) \) и \( (-\frac{3}{7}, 2.5) \).

6. Записываем окончательный ответ: Таким образом, неравенство (2x - 5)(7x + 3)(x + 8) < 0 выполняется для значений: \[ x \in (-8, -\frac{3}{7}) \cup (-\frac{3}{7}, 2.5) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим математическим вопросам, не стесняйтесь спрашивать!