Постройте график функции y=-x²-2,25 и определите, при каких значениях к прямая у=кх имеет с графиком ровно одну общую точку
Чтобы построить график функции \( y = -x^2 - 2.25 \), мы можем начать с основных характеристик этой функции. Это парабола, направленная вниз (поскольку коэффициент при \( x^2 \) отрицательный), со стандартным уравнением, которое представляет собой перенос параболы вниз.
Шаг 1: Построение графика функции
Найдем вершину параболы: Вершина функции имеет координаты \( (0, -2.25) \) (так как функция симметрична относительно оси Y и сдвинута вниз на 2.25 единицы).
Найдем несколько точек: Подставим различные значения \( x \) в уравнение функции, чтобы найти соответствующие \( y \):
Для \( x = -2 \):
\( y = -(-2)^2 - 2.25 = -4 - 2.25 = -6.25 \)
Точка: \( (-2, -6.25) \)Для \( x = -1 \):
\( y = -(-1)^2 - 2.25 = -1 - 2.25 = -3.25 \)
Точка: \( (-1, -3.25) \)Для \( x = 0 \):
\( y = 0 - 2.25 = -2.25 \)
Точка: \( (0, -2.25) \)Для \( x = 1 \):
\( y = -(1)^2 - 2.25 = -1 - 2.25 = -3.25 \)
Точка: \( (1, -3.25) \)Для \( x = 2 \):
\( y = -(2)^2 - 2.25 = -4 - 2.25 = -6.25 \)
Точка: \( (2, -6.25) \)
Наносим точки на координатную плоскость и соединяем их плавной кривой, чтобы получить график параболы.
Шаг 2: Условия для прямой \( y = kx \)
Теперь перейдем к определению значений \( k \), при которых прямая \( y = kx \) имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Это произойдет, когда прямая касается параболы. Для этого необходимо решить уравнение:
\[ -kx^2 - 2.25 = kx \]
Приведем его к стандартному виду:
\[ -kx^2 - kx - 2.25 = 0 \]
Эта парабола имеет ровно одну общую точку с прямой \( y = kx \), когда дискриминант (D) этого уравнения равен нулю:
\[ D = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4(-k)(-2.25) = k^2 - 9k \]
Условие для одного решения:
\[ D = 0 \implies k^2 - 9k = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ k(k - 9) = 0 \]
Таким образом, \( k = 0 \) или \( k = 9 \).
Итог
Прямая \( y = kx \) касается графика функции \( y = -x^2 - 2.25 \) при \( k = 0 \) (это горизонтальная прямая) и при \( k = 9 \).
