Какую начальную скорость нужно сообщить мячу, бросая его вниз с некоторой высоты h, чтобы мяч после удара о пол поднял-ся на высоту в 2 раза большую?

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся законом сохранения энергии. Когда мяч падает с высоты \( h \), его потенциальная энергия на этой высоте равна \( mgh \) (где \( m \) — масса мяча, \( g \) — ускорение свободного падения). При ударе о пол вся потенциальная энергия переходит в кинетическую.

После удара мяч должен подниматься на высоту \( 2h \). Его потенциальная энергия на высоте \( 2h \) будет равна \( mg(2h) = 2mgh \).

Таким образом, для того чтобы мяч поднялся на высоту \( 2h \), ему нужно иметь достаточную кинетическую энергию при ударе о пол. Эта кинетическая энергия равна:

\[ E_k = \frac{1}{2} mv^2, \]

где \( v \) — скорость мяча в момент удара о пол.

Для того чтобы мяч после удара поднялся на высоту \( 2h \), необходимо, чтобы его кинетическая энергия была равна потенциальной энергии на этой высоте:

\[ \frac{1}{2} mv^2 = 2mgh. \]

Теперь упростим это уравнение, сократив массу \( m \):

\[ \frac{1}{2} v^2 = 2gh. \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ v^2 = 4gh. \]

Теперь извлечем корень:

\[ v = \sqrt{4gh} = 2\sqrt{gh}. \]

Таким образом, начальная скорость, с которой нужно бросить мяч вниз, чтобы он поднялся на высоту в 2 раза большую, равна:

\[ v = 2\sqrt{gh}. \]