Найдите координаты ортоцентра треугольника abc зная его вершины a(1;2) b(1;3) c(-2;4)

Чтобы найти координаты ортоцентра треугольника ABC, нужно сначала определить координаты его вершин: A(1, 2), B(1, 3) и C(-2, 4).

Ортоцентр треугольника — это точка пересечения высот, проведённых из вершин к противоположным сторонам.

1. Находим уравнения высот треугольника.

   Высота из вершины A проведена перпендикулярно к стороне BC. Сначала найдём уравнение прямой BC.

   • Координаты B(1, 3) и C(-2, 4).
   • Наклонная BC: \[ k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{4 - 3}{-2 - 1} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \]
   • Уравнение прямой BC (через точку B): \[ y - 3 = -\frac{1}{3}(x - 1) \implies y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} + 3 \implies y = -\frac{1}{3}x + \frac{10}{3} \]

   Теперь находим наклон высоты из A (перпендикулярно BC): \[ k_{A} = 3 \quad (\text{перпендикуляр к } -\frac{1}{3}) \] Уравнение высоты из A (через точку A): \[ y - 2 = 3(x - 1) \implies y = 3x - 3 + 2 \implies y = 3x - 1 \]

2. Находим высоту из вершины B.

   Высота из B проведена перпендикулярно к стороне AC. Находим уравнение прямой AC.

   • Координаты A(1, 2) и C(-2, 4).
   • Наклонная AC: \[ k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{4 - 2}{-2 - 1} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \]
   • Уравнение прямой AC (через точку A): \[ y - 2 = -\frac{2}{3}(x - 1) \implies y = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} + 2 \implies y = -\frac{2}{3}x + \frac{8}{3} \]

   Наклон высоты из B (перпендикулярно к AC): \[ k_{B} = \frac{3}{2} \] Уравнение высоты из B (через точку B): \[ y - 3 = \frac{3}{2}(x - 1) \implies y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} + 3 \implies y = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2} \]

3. Находим точку пересечения высот.

   Теперь решим систему уравнений:

   \[ \begin{cases} y = 3x - 1 \\ y = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2} \end{cases} \]

   Приравняем правые части: \[ 3x - 1 = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2} \]

   Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ 6x - 2 = 3x + 3 \\ 6x - 3x = 5 \\ 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3} \]

   Подставим x в одно из уравнений, например, в первое: \[ y = 3 \cdot \frac{5}{3} - 1 = 5 - 1 = 4 \]

Таким образом, координаты ортоцентра треугольника ABC равны: \[ \left(\frac{5}{3}, 4\right) \]