Найдите координаты ортоцентра треугольника abc зная его вершины a(1;2) b(1;3) c(-2;4)

Для нахождения координат ортоцентра треугольника \( ABC \) со сторонами \( A(1, 2) \), \( B(1, 3) \) и \( C(-2, 4) \), прежде всего нужно найти уравнения высот треугольника и их пересечение.

1. Находим угловые наклоны:

   • Сначала записываем координаты вершин:
     • \( A(1, 2) \)
     • \( B(1, 3) \)
     • \( C(-2, 4) \)

2. Находим уравнение высоты из вершины \( A \): Высота из \( A \) перпендикулярна стороне \( BC \). Найдем угол наклона линии \( BC \):

   • Координаты \( B \) и \( C \):
     • \( B(1, 3) \)
     • \( C(-2, 4) \)

   Сначала найдем угловой коэффициент линии \( BC \):

   \[ k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{4 - 3}{-2 - 1} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \]

   Поскольку высота \( h_A \) перпендикулярна \( BC \), ее угловой коэффициент будет:

   \[ k_{h_A} = 3 \]

   Уравнение высоты \( h_A \) проходит через точку \( A(1, 2) \):

   \[ y - 2 = 3(x - 1) \Rightarrow y = 3x - 1 \]

3. Находим уравнение высоты из вершины \( B \): Высота из \( B \) перпендикулярна стороне \( AC \). Найдем угол наклона линии \( AC \):

   \[ k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{4 - 2}{-2 - 1} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \]

   Угловой коэффициент линии высоты \( h_B \) будет:

   \[ k_{h_B} = \frac{3}{2} \]

   Уравнение высоты \( h_B \) проходит через точку \( B(1, 3) \):

   \[ y - 3 = \frac{3}{2}(x - 1) \Rightarrow y = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2} \]

4. Находим координаты ортоцентра: Теперь система из двух уравнений:

   \[ \begin{cases} y = 3x - 1\\ y = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2} \end{cases} \]

   Подставим \( y \) из первого уравнения во второе:

   \[ 3x - 1 = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2} \]

   Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:

   \[ 6x - 2 = 3x + 3 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3} \]

   Найдем \( y \):

   \[ y = 3\left(\frac{5}{3}\right) - 1 = 5 - 1 = 4 \]

Таким образом, координаты ортоцентра треугольника \( ABC \) равны:

\[ H\left(\frac{5}{3}; 4\right) \]