На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD. Точки K K, L L, M M, N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику L M N LMN.
Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать треугольнику LMN, нужно выполнить несколько шагов.
Определение координат точек: Пусть прямоугольник ABCD имеет координаты:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, b)
- D(0, b)
Тогда координаты середины сторон будут следующими:
- K (середина AB): K(a/2, 0)
- L (середина BC): L(a, b/2)
- M (середина CD): M(a/2, b)
- N (середина DA): N(0, b/2)
Площадь прямоугольника ABCD: Площадь прямоугольника ABCD равна: \[ S_{ABCD} = a \cdot b \]
Площадь треугольника LMN: Чтобы найти площадь треугольника LMN, воспользуемся формулой для вычисления площади треугольника по координатам вершин: \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \cdot | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) | \] Где:
- \( L = (a, b/2) \)
- \( M = (a/2, b) \)
- \( N = (0, b/2) \)
Подставим координаты: \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \cdot | a(b/2 - b/2) + a/2(b/2 - b) + 0(b - b/2) | \] Упрощая выражение, получаем: \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \cdot | 0 + a/2(-b/2) + 0 | \] \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \cdot | -ab/4 | = \frac{ab}{8} \]
Вероятность попадания в треугольник LMN: Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике принадлежит треугольнику LMN, рассчитывается как отношение площади треугольника к площади прямоугольника: \[ P = \frac{S_{LMN}}{S_{ABCD}} = \frac{ab/8}{ab} = \frac{1}{8} \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать треугольнику LMN, равна \(\frac{1}{8}\).
