Решите интегралы методом замены переменной интеграл х^2 под корнем х^3 - 8 dx

Для решения интеграла \(\int \sqrt{x^3 - 8} \cdot x^2 \, dx\) методом замены переменной, начнем с определения удобной замены.

Рассмотрим подкоренное выражение \(x^3 - 8\). Для упрощения интеграла полезно сделать замену переменной, связанной с \(x^3 - 8\).

Пусть: \[ u = x^3 - 8 \] Тогда, чтобы выразить \(dx\) через \(du\), найдем производную: \[ \frac{du}{dx} = 3x^2 \implies du = 3x^2 \, dx \implies dx = \frac{du}{3x^2} \]

Теперь подставим это в наш интеграл: \[ \int \sqrt{x^3 - 8} \cdot x^2 \, dx = \int \sqrt{u} \cdot x^2 \cdot \frac{du}{3x^2} = \frac{1}{3} \int \sqrt{u} \, du \]

Теперь интегрируем \(\sqrt{u}\): \[ \int \sqrt{u} \, du = \int u^{1/2} \, du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} u^{3/2} \]

Таким образом, подставим обратно \(u = x^3 - 8\): \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} (x^3 - 8)^{3/2} = \frac{2}{9} (x^3 - 8)^{3/2} \]

Не забудем добавить константу интегрирования \(C\): \[ \int \sqrt{x^3 - 8} \cdot x^2 \, dx = \frac{2}{9} (x^3 - 8)^{3/2} + C \]

Таким образом, ответ на интеграл: \[ \int \sqrt{x^3 - 8} \cdot x^2 \, dx = \frac{2}{9} (x^3 - 8)^{3/2} + C \]

Если у вас возникнут дополнительные вопросы по решению интегралов или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!