4. Объем конуса равен 1029 (см. рис, 433), Через точку, лежашую на высоте конуса и деляшую её в отношении 4 : 3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию конуса. Найдите объём конуса, отсеченного данной плоскостью от заданного конуса

Объем конуса определяется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота.

Дано, что объем конуса равен 1029 см³, то есть:

\[ \frac{1}{3} \pi r^2 h = 1029 \]

Теперь проведем плоскость, параллельную основанию, на высоте, делящей высоту конуса в отношении 4:3. Обозначим \( h_1 \) — высоту усеченного конуса.

Общая высота \( h \) делится на 7 частей (4 части сверху и 3 части снизу): \[ h_1 = \frac{4}{7} h \] Следовательно, высота нижней части \( h_2 \) будет равна: \[ h_2 = \frac{3}{7} h \]

Радиус основания усеченного конуса \( r_1 \) будет пропорционален высоте:

\[ \frac{r_1}{r} = \frac{h_1}{h} \implies r_1 = r \cdot \frac{h_1}{h} = r \cdot \frac{4}{7} \]

Теперь мы можем найти объем отсеченного усеченного конуса \( V_1 \):

\[ V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 \]

Подставим выражения для \( r_1 \) и \( h_1 \):

\[ V_1 = \frac{1}{3} \pi \left( r \cdot \frac{4}{7} \right)^2 \cdot \frac{4}{7} h \] \[ = \frac{1}{3} \pi r^2 h \cdot \frac{16}{49} \cdot \frac{4}{7} \] \[ = \frac{1}{3} \pi r^2 h \cdot \frac{64}{343} \] \[ = \frac{64}{343} \cdot \frac{1}{3} \pi r^2 h \] \[ = \frac{64}{343} \cdot 1029 \]

Теперь вычислим:

\[ V_1 = \frac{64 \cdot 1029}{343} = \frac{65856}{343} \approx 192.5 \text{ см}^3 \]

Таким образом, объем конуса, отсеченного данной плоскостью, равен примерно 192.5 см³.