Найдите количество различных натуральных делителей числа 7⁴*8³*9²

Для того чтобы найти количество различных натуральных делителей числа \(7^4 \cdot 8^3 \cdot 9^2\), начнем с разложения данного числа на простые множители.

1. Разложим каждое из чисел:
   • \(8 = 2^3\), таким образом, \(8^3 = (2^3)^3 = 2^9\).
   • \(9 = 3^2\), таким образом, \(9^2 = (3^2)^2 = 3^4\).

Теперь подставим это разложение обратно в выражение:

\[ 7^4 \cdot 8^3 \cdot 9^2 = 7^4 \cdot 2^9 \cdot 3^4. \]

2. Теперь можем записать число в виде:

\[ 2^9 \cdot 3^4 \cdot 7^4. \]

3. Формула для нахождения количества различных натуральных делителей числа с разложением на простые множители \(p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot p_3^{e_3} \cdots\) выглядит следующим образом:

\[ (d(N) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)(e_3 + 1) \cdots), \]

где \(e_i\) — это степени простых множителей.

4. Применим эту формулу к нашему числу:

• Для \(2^9\): степень \(e_1 = 9\) → \(e_1 + 1 = 10\).
• Для \(3^4\): степень \(e_2 = 4\) → \(e_2 + 1 = 5\).
• Для \(7^4\): степень \(e_3 = 4\) → \(e_3 + 1 = 5\).

5. Подставим значения в формулу:

\[ d(N) = (9 + 1)(4 + 1)(4 + 1) = 10 \cdot 5 \cdot 5. \]

6. Теперь произведем расчет:

\[ 10 \cdot 5 = 50, \] \[ 50 \cdot 5 = 250. \]

Таким образом, количество различных натуральных делителей числа \(7^4 \cdot 8^3 \cdot 9^2\) равно \(250\).