Найдите наибольшее тринадцатизначное натуральное число, делящееся на 75, в записи которого встречаются все 10 цифр.

Чтобы найти наибольшее тринадцатизначное натуральное число, делящееся на 75 и содержащее все 10 цифр (от 0 до 9), сначала важно понять, какие условия должны быть выполнены.

1. Условия делимости на 75: Число должно делиться и на 3, и на 25.

   • Для делимости на 3 сумма всех цифр числа должна делиться на 3.
   • Для делимости на 25 последние две цифры числа должны быть 00, 25, 50 или 75. Поскольку у нас есть все цифры, наилучшим вариантом для максимизации числа являются цифры 00.

2. Формат числа: Поскольку число должно быть тринадцатизначным, и мы уже используем цифры 0-9, нам нужно добавить еще 3 цифры, чтобы достичь тринадцатизначного числа. Наиболее логично использовать 1, 2 и 3, чтобы не использовать уже имеющиеся цифры.

Теперь можем собрать все данные вместе:

• Мы можем составить наибольшее число, начиная с наибольших доступных цифр, в порядке убывания:
  • 9876543210 и добавим 321, чтобы получить 9876543210321. Это число делится на 75, так как оно заканчивается на 00 и соответствует условию делимости на 3.

Таким образом, наибольшее тринадцатизначное натуральное число, делящееся на 75 и содержащее все 10 цифр, — это 98765432100.