Найди точку экстремума функции f(x)=e^2x*(3x+6)
Для нахождения точек экстремума функции \( f(x) = e^{2x}(3x + 6) \) необходимо выполнить несколько шагов.
Найти производную функции. Применим правило произведения для нахождения производной:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x}) \cdot (3x + 6) + e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(3x + 6) \]
Теперь найдем производные каждой из частей:
- \( \frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2e^{2x} \)
- \( \frac{d}{dx}(3x + 6) = 3 \)
Подставляя эти выражения, получаем:
\[ f'(x) = (2e^{2x})(3x + 6) + e^{2x}(3) \]
Упростим это выражение:
\[ f'(x) = e^{2x}(2(3x + 6) + 3) = e^{2x}(6x + 12 + 3) = e^{2x}(6x + 15) \]
Найти критические точки. Для этого нужно приравнять производную к нулю:
\[ e^{2x}(6x + 15) = 0 \]
Поскольку \( e^{2x} \) никогда не равно нулю, мы можем решить уравнение:
\[ 6x + 15 = 0 \]
Из этого уравнения находим \( x \):
\[ 6x = -15 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{15}{6} = -\frac{5}{2} \]
Определение типа экстремума. Для этого используем вторую производную. Сначала найдем вторую производную \( f''(x) \).
Используем ранее найденную первую производную:
\[ f'(x) = e^{2x}(6x + 15) \]
Теперь находим производную этой функции:
\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x})(6x + 15) + e^{2x} \frac{d}{dx}(6x + 15) \] \[ = 2e^{2x}(6x + 15) + e^{2x} \cdot 6 \] \[ = e^{2x}(2(6x + 15) + 6) = e^{2x}(12x + 30 + 6) = e^{2x}(12x + 36) \]
Подставляем критическую точку \( x = -\frac{5}{2} \):
\[ f''\left(-\frac{5}{2}\right) = e^{-5}(12\left(-\frac{5}{2}\right) + 36) = e^{-5}(-30 + 36) = e^{-5}(6) \]
Так как \( f''\left(-\frac{5}{2}\right) > 0 \), это указывает на то, что в точке \( x = -\frac{5}{2} \) находится точка минимума.
В заключение, точка экстремума функции \( f(x) = e^{2x}(3x + 6) \) находится в \( x = -\frac{5}{2} \) и является минимумом.
