Даны векторы а{3; -2; -4}, b -4; 4; -3). a) Будут ли коллинеарными векторы с = 2a-4b и d = a -2b ? б) Вычислите 2c-3d в) Запишите разложение векторов с и d по координатным векторам ї, j, k

Давайте разберем ваши вопросы по порядку.

a) Чтобы определить, будут ли векторы \( c \) и \( d \) коллинеарными, нам нужно сначала найти их координаты.

Данные векторы:

\[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \]

Теперь вычислим вектор \( c = 2\mathbf{a} - 4\mathbf{b} \):

\[ c = 2 \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} - 4 \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \]

Сначала умножим векторы:

\[ 2\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ -8 \end{pmatrix}, \quad 4\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -16 \\ 16 \\ -12 \end{pmatrix} \]

Теперь найдем \( c \):

\[ c = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ -8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -16 \\ 16 \\ -12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + 16 \\ -4 - 16 \\ -8 + 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 \\ -20 \\ 4 \end{pmatrix} \]

Теперь найдем вектор \( d = \mathbf{a} - 2\mathbf{b} \):

\[ d = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \]

Опять же, сначала умножим вектор \( \mathbf{b} \):

\[ 2\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix} \]

Теперь найдем \( d \):

\[ d = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 8 \\ -2 - 8 \\ -4 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Чтобы векторы \( c \) и \( d \) были коллинеарными, существует скаляр \( k \), такой что \( c = k \cdot d \). Проверим соотношение между ними:

\[ \frac{c_1}{d_1} = \frac{22}{11} = 2, \quad \frac{c_2}{d_2} = \frac{-20}{-10} = 2, \quad \frac{c_3}{d_3} = \frac{4}{2} = 2 \]

Так как для всех координат выполняется одно и то же отношение, векторы \( c \) и \( d \) будут коллинеарными.

б) Найдем \( 2c - 3d \):

\[ 2c = 2 \begin{pmatrix} 22 \\ -20 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 44 \\ -40 \\ 8 \end{pmatrix} \]

\[ 3d = 3 \begin{pmatrix} 11 \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 33 \\ -30 \\ 6 \end{pmatrix} \]

Теперь вычислим \( 2c - 3d \):

\[ 2c - 3d = \begin{pmatrix} 44 \\ -40 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 33 \\ -30 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 44 - 33 \\ -40 + 30 \\ 8 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix} \]

в) Разложение векторов \( c \) и \( d \) по координатным векторам \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \) можно записать следующим образом:

Для вектора \( c \):

\[ c = 22\mathbf{i} - 20\mathbf{j} + 4\mathbf{k} \]

Для вектора \( d \):

\[ d = 11\mathbf{i} - 10\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разобрать другие темы, не стесняйтесь обращаться!