найдите наименьшее значение y=x³+18x²+81x+44 на отрезке [-7;0]
Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = x^3 + 18x^2 + 81x + 44 \) на отрезке \([-7; 0]\), мы можем использовать метод нахождения производной и анализа экстремумов.
Найдем производную функции: \[ y' = 3x^2 + 36x + 81 \]
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 3x^2 + 36x + 81 = 0 \] Упростим уравнение, разделив все члены на 3: \[ x^2 + 12x + 27 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36 \] Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два различных корня. \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm 6}{2} \] Таким образом, корни: \[ x_1 = \frac{-12 + 6}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-12 - 6}{2} = -9 \]
Теперь определим значения функции в критических точках и на границах отрезка:
- Для \( x = -7 \): \[ y(-7) = (-7)^3 + 18(-7)^2 + 81(-7) + 44 = -343 + 882 - 567 + 44 = -343 + 382 = 39 \]
- Для \( x = -3 \): \[ y(-3) = (-3)^3 + 18(-3)^2 + 81(-3) + 44 = -27 + 162 - 243 + 44 = -27 + 162 - 243 + 44 = -64 \]
- Для \( x = -9 \): \[ y(-9) = (-9)^3 + 18(-9)^2 + 81(-9) + 44 = -729 + 1458 - 729 + 44 = -729 + 729 = 44 \]
- Для \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^3 + 18 \cdot 0^2 + 81 \cdot 0 + 44 = 44 \]
Сравним значения функции:
- \( y(-7) = 39 \)
- \( y(-3) = -64 \)
- \( y(-9) = 44 \)
- \( y(0) = 44 \)
Наименьшее значение функции на отрезке \([-7; 0]\) равно \( -64 \) при \( x = -3 \).
Таким образом, ответ: наименьшее значение \( y \) на отрезке \([-7; 0]\) равно \(-64\).
