реши систему уравнений: 1) { x+y=10 xy=24 2) { x-y=-10 xy=24
Конечно, давайте решим каждую из систем уравнений.
Система 1:
- \( x + y = 10 \)
- \( xy = 24 \)
Для начала из первого уравнения выразим \( y \):
\[ y = 10 - x \]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
\[ x(10 - x) = 24 \]
Раскроем скобки:
\[ 10x - x^2 = 24 \]
Переносим 24 на левую сторону уравнения:
\[ -x^2 + 10x - 24 = 0 \]
Умножим на -1 для упрощения:
\[ x^2 - 10x + 24 = 0 \]
Теперь можем использовать формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = 1, b = -10, c = 24 \):
\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4 \]
Так как дискриминант положителен, у нас есть два решения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 2}{2} \]
Находим корни:
\[ x_1 = \frac{12}{2} = 6 \]
\[ x_2 = \frac{8}{2} = 4 \]
Теперь находим значения \( y \):
Для \( x_1 = 6 \):
\[ y = 10 - 6 = 4 \]
Для \( x_2 = 4 \):
\[ y = 10 - 4 = 6 \]
Таким образом, решения для первой системы:
\( (x, y) = (6, 4) \) и \( (4, 6) \).
Система 2:
- \( x - y = -10 \)
- \( xy = 24 \)
Из первого уравнения выразим \( x \):
\[ x = y - 10 \]
Подставим это значение во второе уравнение:
\[ (y - 10)y = 24 \]
Раскроем скобки:
\[ y^2 - 10y = 24 \]
Переносим 24 на левую сторону:
\[ y^2 - 10y - 24 = 0 \]
Снова используем формулу дискриминанта:
\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 \]
Так как дискриминант положителен, у нас есть два решения:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 14}{2} \]
Находим корни:
\[ y_1 = \frac{24}{2} = 12 \]
\[ y_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]
Теперь найдем соответствующие значения \( x \):
Для \( y_1 = 12 \):
\[ x = 12 - 10 = 2 \]
Для \( y_2 = -2 \):
\[ x = -2 - 10 = -12 \]
Таким образом, решения для второй системы:
\( (x, y) = (2, 12) \) и \( (-12, -2) \).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!
