вычислить площадь криволянейной трапеции ограниченой осью Ox, прямыми x=-1, x=2 и порабулой y=9-x2
Для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, прямыми \( x = -1 \), \( x = 2 \) и параболой \( y = 9 - x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:
Найти точки пересечения параболы с осью Ox. Это делается путем решения уравнения \( 9 - x^2 = 0 \): \[ x^2 = 9 \\ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3 \]
Это означает, что парабола пересекает ось Ox в точках \( x = -3 \) и \( x = 3 \).
Определение области интегрирования. Мы будем рассматривать область, ограниченную вертикальными линиями \( x = -1 \) и \( x = 2 \).
Запись интеграла для вычисления площади. Площадь фигуры можно вычислить с помощью интеграла: \[ S = \int_{-1}^{2} (9 - x^2) \, dx \]
Вычисление интеграла. Сначала найдем антидериватив: \[ \int (9 - x^2) \, dx = 9x - \frac{x^3}{3} + C \]
Вычислим определённый интеграл от -1 до 2: \[ S = \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} \]
Подставим верхний предел: \[ S = 9(2) - \frac{2^3}{3} = 18 - \frac{8}{3} = 18 - 2.67 \approx 15.33 \]
Подставим нижний предел: \[ S = 9(-1) - \frac{(-1)^3}{3} = -9 + \frac{1}{3} = -9 + 0.33 \approx -8.67 \]
Вычислим результат: \[ S = 15.33 - (-8.67) = 15.33 + 8.67 = 24 \]
Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной указанными элементами, равна 24 квадратных единицы.
