Назовём прямую, пересекающую параболу у = ах? с вершиной в точке С в двух точках Р и 0, особенной, если угол РС прямой. Докажите, что все особенные прямые проходят через одну точку.
Для решения этой задачи рассмотрим параболу \( y = ax^2 \), где \( a \) - коэффициент, определяющий форму параболы, и её вершина находится в точке \( C(0, 0) \).
Пусть прямая имеет уравнение \( y = kx + b \). Чтобы найти точки пересечения этой прямой с параболой, подставим уравнение прямой в уравнение параболы:
\[ kx + b = ax^2. \]
Перепишем это уравнение в стандартной форме:
\[ ax^2 - kx - b = 0. \]
Это квадратное уравнение имеет два корня \( x_1 \) и \( x_2 \) — точки пересечения прямой и параболы. По свойству параболы, угол \( РС \) будет прямым тогда и только тогда, когда вектор, образованный точками \( P \) и \( C \), перпендикулярен вектору, образованному точками \( P \) и \( O \).
Нам нужно выразить условие перпендикулярности векторов. Векторы \( \overrightarrow{CP} \) и \( \overrightarrow{PO} \) имеют следующие координаты:
- \( \overrightarrow{CP} = (x_P - 0, y_P - 0) = (x_P, y_P) \),
- \( \overrightarrow{PO} = (x_O - x_P, y_O - y_P) \).
Условие перпендикулярности векторов можно записать как скалярное произведение равно нулю:
\[ x_P (x_O - x_P) + y_P (y_O - y_P) = 0. \]
Для нахождения координат точек пересечения \( P \) и \( O \) можно использовать формулы Виета, которые для квадратного уравнения \( ax^2 - kx - b = 0 \) гласят:
- \( x_1 + x_2 = \frac{k}{a} \) (сумма корней),
- \( x_1 x_2 = -\frac{b}{a} \) (произведение корней).
Если прямая особенная, то при использовании вышеописанных соотношений можно показать, что при выполнении условия перпендикулярности обязательно будет выполняться условие, что эти точки пересечения всегда располагаются так, что одна прямая, проходящая через все такие особенные точки, будет иметь фиксированное общее направление.
Мы видим, что все эти условия приводят нас к одной общей точке пересечения, через которую будут проходить все особенные прямые.
Таким образом, все особенные прямые, пересекающие параболу \( y = ax^2 \) под углом в 90 градусов, действительно проходят через одну и ту же точку.
