Обозначим собственную скорость катера как ( v ) км/ч. Скорость катера против течения будет равна ( v - 3 ) км/ч, а по течению — ( v + 3 ) км/ч.
Время, затраченное на путь против течения (12 км), можно выразить следующим образом:
[
t_1 = \frac{12}{v - 3}
]
Время, затраченное на путь по течению (5 км):
[
t_2 = \frac{5}{v + 3}
]
Общее время для пути против и по течению:
[
t = t_1 + t_2 = \frac{12}{v - 3} + \frac{5}{v + 3}
]
При этом дано, что это общее время равно времени, необходимому для прохождения 18 км по озеру, где скорость катера составляет ( v ) км/ч:
[
t_{озеро} = \frac{18}{v}
]
Сравниваем оба времени:
[
\frac{12}{v - 3} + \frac{5}{v + 3} = \frac{18}{v}
]
Умножим обе стороны уравнения на ( v(v - 3)(v + 3) ) для устранения знаменателей:
[
12v(v + 3) + 5v(v - 3) = 18(v - 3)(v + 3)
]
Раскроем скобки:
[
12v^2 + 36v + 5v^2 - 15v = 18(v^2 - 9)
]
[
17v^2 + 21v = 18v^2 - 162
]
Переносим все на одну сторону уравнения:
[
0 = 18v^2 - 17v^2 - 21v - 162
]
[
0 = v^2 - 21v - 162
]
Решим это квадратичное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089
]
Находим корни уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 \pm 33}{2}
]
Теперь находим два возможных значения для ( v ):
- ( v_1 = \frac{54}{2} = 27 ) км/ч
- ( v_2 = \frac{-12}{2} = -6 ) км/ч (недопустимое значение)
Таким образом, собственная скорость катера:
[
\boxed{27} \text{ км/ч}
]
