Катер прошёл 12км против течения реки и 5км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18км по озеру. Какова собственная…
Катер прошёл 12км против течения реки и 5км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3км/ч.
Обозначим собственную скорость катера как \( v \) км/ч. Скорость катера против течения будет равна \( v - 3 \) км/ч, а по течению — \( v + 3 \) км/ч.
Время, затраченное на путь против течения (12 км), можно выразить следующим образом: \[ t_1 = \frac{12}{v - 3} \]
Время, затраченное на путь по течению (5 км): \[ t_2 = \frac{5}{v + 3} \]
Общее время для пути против и по течению: \[ t = t_1 + t_2 = \frac{12}{v - 3} + \frac{5}{v + 3} \]
При этом дано, что это общее время равно времени, необходимому для прохождения 18 км по озеру, где скорость катера составляет \( v \) км/ч: \[ t_{озеро} = \frac{18}{v} \]
Сравниваем оба времени: \[ \frac{12}{v - 3} + \frac{5}{v + 3} = \frac{18}{v} \]
Умножим обе стороны уравнения на \( v(v - 3)(v + 3) \) для устранения знаменателей: \[ 12v(v + 3) + 5v(v - 3) = 18(v - 3)(v + 3) \]
Раскроем скобки: \[ 12v^2 + 36v + 5v^2 - 15v = 18(v^2 - 9) \] \[ 17v^2 + 21v = 18v^2 - 162 \]
Переносим все на одну сторону уравнения: \[ 0 = 18v^2 - 17v^2 - 21v - 162 \] \[ 0 = v^2 - 21v - 162 \]
Решим это квадратичное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089 \]
Находим корни уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 \pm 33}{2} \]
Теперь находим два возможных значения для \( v \):
- \( v_1 = \frac{54}{2} = 27 \) км/ч
- \( v_2 = \frac{-12}{2} = -6 \) км/ч (недопустимое значение)
Таким образом, собственная скорость катера: \[ \boxed{27} \text{ км/ч} \]
