10.1. Найти все пары натуральных чисел т и п такие, что m²+7mn-98n² = 2025.
Для решения уравнения \( m^2 + 7mn - 98n^2 = 2025 \) давайте сначала перенесем 2025 на левую сторону:
\[ m^2 + 7mn - 98n^2 - 2025 = 0. \]
Это уравнение является квадратным относительно \( m \). Запишем его в стандартной форме:
\[ m^2 + 7mn - (98n^2 + 2025) = 0. \]
Теперь мы можем использовать дискриминант для решения квадратного уравнения. В общем виде квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac, \]
где здесь \( a = 1 \), \( b = 7n \), и \( c = -(98n^2 + 2025) \). Таким образом, дискриминант будет равен:
\[ D = (7n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(98n^2 + 2025)). \]
Упростим это выражение:
\[ D = 49n^2 + 4(98n^2 + 2025) = 49n^2 + 392n^2 + 8100 = 441n^2 + 8100. \]
Теперь нам нужно, чтобы \( D \) был неотрицательным (так как мы ищем натуральные решения). Мы выяснили, что дискриминант всегда положителен, поскольку \( 441n^2 \) и \( 8100 \) всегда неотрицательны.
Теперь найдем корни уравнения \( m \) с использованием формулы корней:
\[ m = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7n \pm \sqrt{441n^2 + 8100}}{2}. \]
Подставляя значение \( D \):
\[ m = \frac{-7n \pm \sqrt{441n^2 + 8100}}{2}. \]
Теперь необходимо, чтобы полученные значения \( m \) были натуральными числами. Это означает, что \( -7n + \sqrt{441n^2 + 8100} \) должно быть четным положительным числом.
Рассмотрим конкретные значения \( n \). Подбирая разные натуральные значения для \( n \):
При \( n = 1 \): \[ m^2 + 7m - 121 = 0 \quad \Rightarrow \quad D = 49 + 484 = 533 \quad (нет решений) \]
При \( n = 2 \): \[ m^2 + 14m - 370 = 0 \quad \Rightarrow \quad D = 196 + 1480 = 1676 \quad (нет решений) \]
Попробуйте вычислить значения для других \( n \), пока не найдете такие пары \( (m, n) \), при которых оба значения будут натуральными числами. В этом процессе также можно воспользоваться программированием или более продвинутыми математическими функциями, если это необходимо. Удачи в нахождении всех пар!
