3|x-1|≤x+3

Чтобы решить неравенство \( 3|x-1| \leq x + 3 \), начнём с анализа модульной функции. Модуль \( |x - 1| \) имеет два случая, которые мы должны учесть:

1. Когда \( x - 1 \geq 0 \) (то есть \( x \geq 1 \)), модуль можно убрать, и мы получим: \[ 3(x - 1) \leq x + 3 \] Упрощаем это неравенство: \[ 3x - 3 \leq x + 3 \] Переносим \( x \) на левую сторону: \[ 3x - x \leq 3 + 3 \] Таким образом, мы получаем: \[ 2x \leq 6 \] Делим обе стороны на 2: \[ x \leq 3 \] Учитывая условие \( x \geq 1 \), в этом случае мы получаем промежуток: \[ 1 \leq x \leq 3 \]

2. Когда \( x - 1 < 0 \) (то есть \( x < 1 \)), модуль меняет знак: \[ 3(1 - x) \leq x + 3 \] Упрощаем это неравенство: \[ 3 - 3x \leq x + 3 \] Переносим \( x \) на левую сторону: \[ 3 - 3x - x \leq 3 \] Это упрощается до: \[ 3 - 4x \leq 3 \] Избавляемся от 3: \[ -4x \leq 0 \] Делим обе стороны на -4 (не забываем поменять знак неравенства): \[ x \geq 0 \] Учитывая \( x < 1 \), в этом случае мы получаем промежуток: \[ 0 \leq x < 1 \]

Теперь мы можем объединить оба случая. Таким образом, решение неравенства: \[ 0 \leq x \leq 3 \]

Этот промежуток содержит все возможные значения \( x \) для данного неравенства.