Найди область значения функции f(x)=√x+3 f(x)=2-x² f(x)=x²+3 f(x)=√x-1+ √1-x
Чтобы найти область значения функции, необходимо изучить ее свойства и ограничения. Давайте рассмотрим каждую из представленных функций по отдельности.
f(x) = √(x + 3)
Для того чтобы корень был определен, выражение под корнем должно быть неотрицательным. То есть:
\( x + 3 \geq 0 \)
\( x \geq -3 \)
Таким образом, область определения этой функции — от -3 до бесконечности, а следовательно, область значения будет:
\( [0, +\infty) \).f(x) = 2 - x²
Это квадратичная функция, у которой ветви направлены вниз. Максимальное значение достигается при вершине параболы.
Вершина находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a = -1 \) и \( b = 0 \):
\( x_{в} = -\frac{0}{2 \cdot -1} = 0 \)
Подставляя это значение в уравнение:
\( f(0) = 2 - 0² = 2 \)
Так как функция убывает на обоих концах, область значения будет:
\( (-\infty, 2] \).f(x) = x² + 3
Эта функция также квадратичная, но ветви направлены вверх. Минимальное значение достигается в вершине.
Вершина находится в точке \( x = 0 \):
\( f(0) = 0² + 3 = 3 \)
Таким образом, поскольку функция стремится к бесконечности, область значения будет:
\( [3, +\infty) \).f(x) = √(x - 1) + √(1 - x)
Для этой функции важно, чтобы оба выражения под корнями были неотрицательны:
\( x - 1 \geq 0 \) и \( 1 - x \geq 0 \).
Из этих неравенств получаем:
\( x \geq 1 \) и \( x \leq 1 \).
Таким образом, \( x = 1 \) — единственная точка, во которой функция определена.
Подставляя \( x = 1 \):
\( f(1) = √(1 - 1) + √(1 - 1) = 0 \)
Следовательно, область значения этой функции — точка:
\( \{0\} \).
Теперь у нас есть области значений для каждой функции:
- \( [0, +\infty) \) для \( f(x) = √(x + 3) \)
- \( (-\infty, 2] \) для \( f(x) = 2 - x² \)
- \( [3, +\infty) \) для \( f(x) = x² + 3 \)
- \( \{0\} \) для \( f(x) = √(x - 1) + √(1 - x) \)
Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение, не стесняйтесь спрашивать!
