найдите площадь прямоугольного треугольника если гипотенуза равна 6 см,а радиус вписаной окружности равен 1 см

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, зная длину гипотенузы и радиус вписанной окружности, вы можете использовать следующую формулу:

Площадь треугольника \( S \) можно выразить через радиус вписанной окружности \( r \) и полупериметр \( p \) следующим образом:

\[ S = r \times p \]

Где полупериметр \( p \) можно выразить как:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} \]

где \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипотенуза (в нашем случае, 6 см).

Также для прямоугольного треугольника существует связь между радиусом вписанной окружности, катетами и гипотенузой:

\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

Подставляя известные значения, мы можем выразить один из катетов через другой. Давайте перепишем уравнение для радиуса:

\[ 1 = \frac{a + b - 6}{2} \]

Умножив обе стороны на 2, получаем:

\[ 2 = a + b - 6 \]

Таким образом:

\[ a + b = 8 \]

Теперь у нас есть две переменные \( a \) и \( b \), и мы можем выразить \( b \) через \( a \):

\[ b = 8 - a \]

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Подставим \( b = 8 - a \) и \( c = 6 \):

\[ a^2 + (8 - a)^2 = 6^2 \]

Раскроем скобки:

\[ a^2 + (64 - 16a + a^2) = 36 \]

Соберем все члены:

\[ 2a^2 - 16a + 64 - 36 = 0 \]

Упрощаем:

\[ 2a^2 - 16a + 28 = 0 \]

Разделим все коэффициенты на 2:

\[ a^2 - 8a + 14 = 0 \]

Теперь находим корни уравнения с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 64 - 56 = 8 \]

Корни находятся по формуле:

\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ a = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 4 \pm \sqrt{2} \]

Теперь найдём \( b \):

\[ b = 8 - a = 4 \mp \sqrt{2} \]

Теперь, когда мы нашли \( a \) и \( b \), можем найти площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]

Подставим найденные значения \( a \) и \( b \):

\[ S = \frac{1}{2} \times (4 + \sqrt{2}) \times (4 - \sqrt{2}) = \frac{1}{2} \times (16 - 2) = \frac{1}{2} \times 14 = 7 \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника составляет \( 7 \text{ см}^2 \).