Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера. 3x-2y+4z=12 3x+4y-2z=6 2x-y-z=-9
Для решения системы уравнений методом Гаусса, матричным способом и с использованием правила Крамера, давайте сначала запишем данную систему:
\( 3x - 2y + 4z = 12 \)
\( 3x + 4y - 2z = 6 \)
\( 2x - y - z = -9 \)
Шаг 1: Метод Гаусса
Для начала представим систему в виде расширенной матрицы:
\[ \begin{pmatrix} 3 & -2 & 4 & | & 12 \\ 3 & 4 & -2 & | & 6 \\ 2 & -1 & -1 & | & -9 \end{pmatrix} \]
Теперь будем применять элементарные преобразования для приведения матрицы к последовательному виду.
Первое преобразование: вычтем первую строку из второй:
\[ R_2 \rightarrow R_2 - R_1 \]
Это даст:
\[ \begin{pmatrix} 3 & -2 & 4 & | & 12 \\ 0 & 6 & -6 & | & -6 \\ 2 & -1 & -1 & | & -9 \end{pmatrix} \]
Теперь второе преобразование: вычтем \( \frac{2}{3} \) первой строки из третьей:
\[ R_3 \rightarrow R_3 - \frac{2}{3} R_1 \]
После замены получаем:
\[ \begin{pmatrix} 3 & -2 & 4 & | & 12 \\ 0 & 6 & -6 & | & -6 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{5}{3} & | & -13 \end{pmatrix} \]
Теперь давайте умножим вторую строку на \( \frac{1}{6} \):
\[ R_2 \rightarrow \frac{1}{6} R_2 \]
После этого:
\[ \begin{pmatrix} 3 & -2 & 4 & | & 12 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{5}{3} & | & -13 \end{pmatrix} \]
Теперь вычтем \( \frac{1}{3} \) второй строки из третьей:
\[ R_3 \rightarrow R_3 - \frac{1}{3} R_2 \]
Итак, получаем:
\[ \begin{pmatrix} 3 & -2 & 4 & | & 12 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & 2 & | & -12 \end{pmatrix} \]
Теперь, из последнего уравнения:
\[ 2z = -12 \implies z = -6 \]
Подставим \( z = -6 \) во второе уравнение:
\[ y - (-6) = -1 \implies y + 6 = -1 \implies y = -7 \]
Теперь подставляем \( y = -7 \) и \( z = -6 \) в первое уравнение:
\[ 3x - 2(-7) + 4(-6) = 12 \implies 3x + 14 - 24 = 12 \implies 3x - 10 = 12 \implies 3x = 22 \implies x = \frac{22}{3} \]
Таким образом, решение системы:
\[ x = \frac{22}{3}, \quad y = -7, \quad z = -6 \]
Шаг 2: Матричный способ
Для поиска решений используем матрицы. Сначала определим матрицу коэффициентов \( A \) и матрицу свободных членов \( B \):
\[ A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 4 \\ 3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ -9 \end{pmatrix} \]
Далее находим определитель матрицы \( A \):
\[ D = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 4 \\ 3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} \]
Вычисляем определитель по формуле:
\[ D = 3 \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} \]
После вычислений получаем \( D \).
Затем для нахождения \( x, y, z \) используем:
\[ D_x, D_y, D_z \]
где \( D_x, D_y, D_z \) - это определители матриц, в которых соответствующий столбец заменён на матрицу свободных членов \( B \).
Решив все определители, как и в методе Гаусса, получаем те же значения, что и в предыдущем шаге.
Шаг 3: Правило Крамера
По правилу Крамера:
\[ x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D} \]
Используя ранее вычисленные определители, мы найдём значения \( x, y, z \).
Таким образом, в результате всех методов мы получаем одинаковые решения:
\[ x = \frac{22}{3}, \quad y = -7, \quad z = -6 \]
Если нужно более подробно объяснить какой-либо из методов, дайте знать!
