Даны векторы а {1; -3} и Б {-5;2}. Найдите координаты следующих векторов: а) а + Б; b) à - b; _c) 4a - 3b. A (-2; -3), B(4; 5) - координаты начала и конца вектора АВ. Найдите: а)…

Давайте решим каждую из задач по очереди.

Задача 1: Операции с векторами

Даны векторы:

• \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}\)
• \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}\)

а) Найдем \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\):

\[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 5 \\ -3 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix} \]

б) Найдем \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\):

\[ \mathbf{a} - \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 5 \\ -3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix} \]

в) Найдем \(4\mathbf{a} - 3\mathbf{b}\):

\[ 4\mathbf{a} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \end{pmatrix} \] \[ 3\mathbf{b} = 3 \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15 \\ 6 \end{pmatrix} \] \[ 4\mathbf{a} - 3\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -15 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 15 \\ -12 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 \\ -18 \end{pmatrix} \]

Задача 2: Вектор AB

Координаты точек:

• \(A (-2; -3)\)
• \(B (4; 5)\)

а) Найдем координаты вектора \(\mathbf{AB}\):

\[ \mathbf{AB} = \begin{pmatrix} 4 - (-2) \\ 5 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 2 \\ 5 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} \]

б) Найдем координаты середины отрезка AB:

\[ M = \left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{-3 + 5}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{2}{2}\right) = (1; 1) \]

в) Найдем длину вектора \(\mathbf{AB}\):

\[ |\mathbf{AB}| = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

Задача 3: Периметр и вид треугольника ABC

Координаты вершин:

• \(A (-4; 3)\)
• \(B (8; 3)\)
• \(C (2; -5)\)

Для нахождения периметра треугольника ABC, сначала найдем длины сторон \(AB\), \(BC\) и \(CA\):

1. \(AB\): \[ AB = \sqrt{(8 - (-4))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{(12)^2 + 0^2} = \sqrt{144} = 12 \]

2. \(BC\): \[ BC = \sqrt{(2 - 8)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

3. \(CA\): \[ CA = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

Теперь находим периметр: \[ P = AB + BC + CA = 12 + 10 + 10 = 32 \]

б) Определим вид треугольника ABC по длинам сторон:

• Две стороны \(BC\) и \(CA\) равны \(10\), а сторона \(AB\) равна \(12\).

Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным.

Ответы:

1. а) \((-4; -1)\), б) \((6; -5)\), в) \((19; -18)\)
2. а) \((6; 8)\), б) \((1; 1)\), в) \(10\)
3. а) \(32\), б) равнобедренный.